■サッカーボールの体積
切頂四面体は正四面体の辺を３等分して，その点を通るように４個の角を切頂した正三角形と正六角形で囲まれた図形である．その形は海岸線で波消しブロックとして使われているテトラポッドによく似ている．まず，切頂四面体の体積を求めてみたい．
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【１】切頂四面体の体積
切頂四面体ともとの正四面体と体積比は
１−４／２７：１＝２３：２７
正四面体の辺の長さを１とすると，正四面体の体積は１／６√２であるから，切頂四面体の体積は
１／６√２・２３／２７
辺の長さを１に規格化すると
１／６√２・２３／２７・２７＝２３√２／１２
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【２】切頂２０面体の体積
正２０面体の各辺を３等分したところで切頂すると，正五角形と正六角形で囲まれた図形ができる．これがサッカーボールであるが，その体積を求めてみよう．
必要ならば１辺の長さ１の体積
正２０面体：５τ^2／６＝（１５＋５√５）／１２
正１２面体：τ^4√５／２＝（１５＋７√５）／４
を既知としてもよい．
正２０面体が正１２面体の正五角形面の上に五角錐を載せたものであれば計算は簡単であるが，そううまくはいかないものである．そこで，奥の手をだそう．
コラム「単純リー環を使った面数数え上げ（その１４２）」のように，正２０面体の場合，ｐ＝３，ｑ＝５，ｈ＝１０を代入すると
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，√（１／３），（√５＋１）／√３（√５−１））
となって，
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）
と一致する．
ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝τ^2／√３
サッカーボールは，正２０面体系｛３，５｝（１１０）であるから，
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
を計算して
１−ｙ1＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝Ｌ
（ｙ2−ｙ3）／√（３＋３／τ^4）＝０→ｙ2＝ｙ3＝０，ｙ1＝２／３（辺の三等分点），Ｌ＝１／３
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖，‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ｃ0＝ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2−ａ1^2ｙ1＝１＋１／３＋τ^4／３−２／３
ｄ0＝（１＋１／３＋τ^4／３）^1/2＝（４／３＋τ^4／３）^1/2
ｈ0＝（２＋τ^4）／３・√｛３／（４＋τ^4）｝
辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，
Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ0＝（２＋τ^4）／２・√｛３／（４＋τ^4）｝
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，−ａn）
ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ｄn-1‖，‖ｄn-1‖＝（ａn^2）^1/2
ａn^2ｙn＝０
→ｈ2＝ａ3＝τ^2／√３，Ｈ2＝ｈ2／２Ｌ＝τ^2√３／２
また，
→Ｖ2＝１／２・ｔａｎ５４°×５／２＝｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４（正五角形の面積）
→Λ2＝３√３／２（正六角形の面積）
Ｖ＝（Ｎ0・Ｖ2・Ｈ0＋Ｎ2・Λ2・Ｈ2）／３
＝｛１２・５｛（５＋２√５）／５｝^1/2／４・（２＋τ^4）／２√（τ√５）＋２０・３√３／２・τ^2√３／２｝／３
＝５／２・τ／√５・（２＋τ^4）＋１５τ^2
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なお，
［１］中心から正五角形面までの距離
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）＝２．３２７４４
［２］中心から正六角形面までの距離
Ｈ2＝τ^2√３／２＝２．２６７２８
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