連続する３個の自然数の積は３！＝６の倍数である

　連続する４個の自然数の積は４！＝２４の倍数である

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！の倍数である

に対して，エルデシュ・セルフリッジの定理とは

　連続する３個の自然数の積は平方数とはならない

　連続する４個の自然数の積は平方数，立方数とはならない

　連続するｋ（＞１）個の自然数の積はある数のベキ乗数とはならない

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［Ｑ］連続する３個の自然数の積（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数とはならないことを示せ．

［Ａ］ａ≧２．（ａ−１）とａ，ａと（ａ＋１）は互いに素であるから，（ａ−１）ａ（ａ＋１）は平方数ならばａ自身が平方数でなければならない．すると（ａ−１）（ａ＋１）＝ａ^2−１も平方数であるから，ａ^2−１＝ｂ^2と書ける．

　このとき，ａ^2−ｂ^2＝（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）＝１より（ａ，ｂ）＝（±１，０）となり，ａ≧２であることに反する．

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　１９７５年，エルデスとセルフリッジは連続する整数の積は整数のベキでないこと，すなわち

　　ｙ^q＝ｘ（ｘ＋１）・・・（ｘ＋ｐ−１）

はすべてが＞１である整数解（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）をもたないことを証明しています．

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