【１】kissing numberの問題

　１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．

　平面上で与えられるたいていの問題は，３次元あるいは高次元の空間で考察することができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と深い関連があります．

　１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？　まず，３次元の場合，単位球のまわりに面心立方格子状に単位球を置いた場合の接触点

1/√2（±１，±１，０）

1/√2（±１，０，±１）

1/√2（０，±１，±１）

を考えてみると，これら１２個の相異なる２点に対応するベクトルの内積は，−１，±１／２，０のいずれかであり，したがって，その間の角度（球面距離）は６０度以上となりますから，これらの点で接するように１２個の単位球を置くことができます．したがって，τ3≧１２は直ちにわかります．

　実際，正２０面体の１２個の頂点に対して，そこで接するように１２個の単位球を置くことができます．この場合，頂点間の角度は約６３゜２６′になり，１２個の球は互いに接触しておりません．少しだけなら自由に動かせるという状況ですから，その隙間を一つに集めたらもう一個球が入るのではないでしょうか？　ところが，これができるかできないかはあまり自明ではありません．というより，３次元になるととたんに問題が難しくなってしまうのです．

　３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．

　１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．

　４次元の場合はどうなるでしょうか？　２４個の面心立方格子状配置の接触点

1/√2（±１，±１，０，０）

1/√2（±１，０，±１，０）

1/√2（±１，０，０，±１）

1/√2（０，±１，±１，０）

1/√2（０，±１，０，±１）

1/√2（０，０，±１，±１）

で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです．

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　少し詳細に調べていきましょう．４次元，５次元においては面心立方格子の類似品となりますが，６次元以上についてはそのようなことはもはや成立しなくなります．次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからです．８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）

と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．

　専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．さらに，この詰め込みの断面（部分格子）が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みを与えてくれます．

　また，１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成しました．この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．

　こうして，ｎ≦２４のときのすでに知られている上界・下界がオドリズコ，スローンによって与えられています．

　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2

　　2 6

　　3 12

　　4 24〜25

　　5 40〜46

　　6 72〜82

　　7 126〜140

　　8 240

　　9 306〜380

　　10 500〜595

　　･･･････････････････

　　24 196560

　つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによってすぐに接吻数を数えることができるというわけです．

　　［参］坂内英一・坂内悦子「球面上の代数的組合せ理論」シュプリンガー・フェアラーク東京，ｐ２１４〜２１５

には，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０のゲーゲンバウアー展開を用いた証明が掲載されています（オドリズコ，スローン）．

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