正四面体の１／２４の直角四面体で，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），１／２・√（２／３））

にとることができる．底面は（３０°，６０°，９０°）の直角三角形である．ます（その１３３）の再考から始めたい．

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【１】正単体系の場合

［１］切頂・切稜点

　　Ｐ0（０，・・・，０）

　　Ｐ1（ａ1，０，・・・，０）

　　Ｐ2（ａ1，ａ2，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（ａ1，・・・，ａn）

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

　　ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）

とおく．

　　１／ａj-1^2＋１／ａj^2＝２（ｊ−１）ｊ＋２ｊ（ｊ＋１）＝（２ｊ）^2

より

　　（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2

は

　　（ｙj-1−ｙj）／２ｊ＝（ｙj−ｙj+1）／２（ｊ＋１）

となる．

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　ｎ次元正単体の計算を行ったときは，辺の長さを１にしたので，まずその補正から始めたい．

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１／２，０，０）

　　Ｐ2（１／２，１／２・√（１／３），０）

　　Ｐ3（１／２，１／２・√（１／３），１／４・√（２／３））

　　ａ1＝１／２，ａ2＝１／２・√（１／３）＝√（１／１２），ａ3＝１／４・√（２／３）＝√（１／２４）

となって

　　ａj＝√（１／２ｊ（ｊ＋１））

と一致する．

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【２】Ｈ3の場合

　　ｈ＝２４／（１０−ｐ−ｑ）−２　　（スタインバーグの公式）

を用いると

　　ｓｉｎ（π／ｈ）＝｛１−ｃｏｓ^2（π／ｐ）−ｃｏｓ^2（π／ｑ）｝^1/2

　　ｃｏｓ^2（π／ｈ）＝ｃｏｓ^2（π／ｐ）＋ｃｏｓ^2（π／ｑ）

となるので，

　　Ｐ0Ｐ1＝１

　　Ｐ1Ｐ2＝ｃｏｔ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ2＝ｃｏｓｅｃ（π／ｐ）＝１／ｓｉｎ（π／ｐ）

　　Ｐ0Ｐ3＝ｓｉｎ（π／ｑ）

　　Ｐ2Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｈ）

　　Ｐ1Ｐ3＝ｃｏｓ（π／ｐ）／ｓｉｎ（π／ｈ）

　　正１２面体｛ｐ，ｑ｝＝｛５，３｝

　　正２０面体｛ｐ，ｑ｝＝｛３，５｝

とも，

　　ｈ＝１０

　辺の長さを２とするが

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，Ｐ1Ｐ2，０）

　　Ｐ3（１，Ｐ1Ｐ2，Ｐ2Ｐ3）

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｃｏｔ（π／ｐ），０）

　　Ｐ3（１，ｃｏｔ（π／ｐ），ｃｏｓ（π／ｐ）ｃｏｓ（π／ｑ）／ｓｉｎ（π／ｐ）ｓｉｎ（π／ｈ））

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【３】正２０面体の場合

　ｐ＝３，ｑ＝５，ｈ＝１０

を代入すると

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，√（１／３），（√５＋１）／√３（√５−１））

となって，

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）

　　Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）

と一致する．

　　ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝τ^2／√３

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