一気に２^n＋２ｎ胞体の体積を求めるのは難しそうなので，正軸体系の整数多面体（格子多面体）の場合を計算してみたい．

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【１】整数多面体の場合

［１］切頂・切稜点

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２，ｚ＝０

　→　ｙ＝ｙ

　　　ｘ＝２ｙ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　２ｙ＋ｙ＝１　→　ｚ＝０，ｙ＝１／３，ｘ＝２／３

また，辺の長さはｙ√２．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２，ｗ＝０

　→　ｚ＝ｚ

　　　ｙ＝２ｚ

　　　ｘ＝２ｙ＋ｚ＝３ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　６ｚ＝１　→　ｗ＝０，ｚ＝１／６，ｙ＝２／６，ｚ＝３／６

また，辺の長さはｚ√２

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　Ｓｚ＝１，ω＝０，ｚ＝１／Ｓ＝２／ｎ（ｎ−１）

　　　ｘ＝（ｎ−１）ｚ，ｙ＝（ｎ−２）ｚ，・・・，ｚ＝ｚ，ω＝０

となることが理解される．

［２］中心から各面までの距離

　切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点

　　Ｑ＝（ｘ1，・・・，ｘn），ｘ1＝ｘ，ｘ2＝ｙ，・・・，ｘn＝ω＝０

を通る．

ＰnＰ0＝（１，０，・・・，０）

ＰnＰ1＝（１／２，１／２，０，・・・，０）

ＰnＰn-1＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）

　ファセットを定めている不等式は，

　　ａ・ｘ＝ｃ

で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は

　　｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖

とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るので，

　　ａ＝（１，０，・・・，０）

　　ｑ＝（ｘ1，ｘ2，ｘ3，・・・，ｘn）

とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと

　　ｃ0＝ｘ1

　　ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（１^2）^1/2

　ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では，辺心は

　　ａ＝（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｃ1＝（ｘ1＋ｘ2）／２

　　ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／２）^2＋（１／２）^2）^1/2＝１／√２

　ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では，胞心は

　　ａ＝（１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）

ここには切頂・切稜は施されないので，胞心面までの距離は１／√ｎであるが，同様に

　　ｃn-1＝（ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn）／ｎ＝１／ｎ

　　ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａ‖，‖ａ‖＝（（１／ｎ）^2＋・・・＋（１／ｎ）^2）^1/2＝１／√ｎ

　　‖ａk‖^2＝１／√ｋ

　辺の長さを１に規格化する．

　　Ｈk＝ｈk／ｚ√２＝ｈkｎ（ｎ−１）／√２

原正多胞体の面数公式を

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

とすると，整数多面体の体積公式は

　　Λn＝（Ｎ0Λn-1Ｖ0Ｈ0＋Ｎ1Λn-2Ｖ1Ｈ1＋・・・＋Ｎn-2Λ1Ｖn-2Ｈn-2＋Ｎn-1Λ0Ｖn-1Ｈn-1）／ｎ

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