正軸体版で，６次元の場合は

　　Λ6＝（Ｎ0Λ5Ｈ0＋Ｎ1Λ4Ｖ1Ｈ1＋Ｎ2Λ3Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Λ2Ｖ3Ｈ3＋Ｎ4Λ1Ｖ4Ｈ4＋Ｎ5Ｖ5Ｈ5）／６

を計算してみたい．

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　Ｎ0＝１２，Ｎ1＝６０，Ｎ2＝１６０，Ｎ3＝２４０，Ｎ4＝１９２，Ｎ5＝６４

　　Λ1＝１，Λ2＝２（√２＋１），Λ3＝２２＋１４√２，Λ4＝２６２＋１８４√２，Λ5＝４１０６＋３１２８√２

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２，Ｖ4＝１２５√５／４，Ｖ5＝３２４√３

を計算してみよう．

　　Ｈk＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）／√２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）√２／２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・√（ｋ＋１）／２

ｎ＝６のとき

　　ｋ＝０→Ｈ0＝（１＋５√２）／２

　　ｋ＝１→Ｈ1＝（１＋９√２／２）・√２／２

　　ｋ＝２→Ｈ2＝（１＋４√２）・√３／２

　　ｋ＝３→Ｈ3＝（１＋７√２／２）

　　ｋ＝４→Ｈ4＝（１＋３√２）・√５／２

　　ｋ＝５→Ｈ5＝（１＋５√２／２）・√６／２

Ｎ0Λ5Ｈ0＝１２・（４１０６＋３１２８√２）・（１＋５√２）／２＝６（４１０６＋３１２８√２）（１＋５√２）

Ｎ1Λ4Ｖ1Ｈ1＝６０・（２６２＋１８４√２）・（１＋９√２／２）・√２／２＝３０（２６２＋１８４√２）（９＋√２）

Ｎ2Λ3Ｖ2Ｈ2＝１６０・（２２＋１４√２）・３√３／２・（１＋４√２）・√３／２＝４０（２２＋１４√２）・９（１＋４√２）

Ｎ3Λ2Ｖ3Ｈ3＝２４０・（２＋２√２）・８√２・（１＋７√２／２）＝２４０・（２＋２√２）・８（７＋√２）

Ｎ4Λ1Ｖ4Ｈ4＝１９２・１２５√５／４・（１＋３√２）・√５／２＝２４・６２５（１＋３√２）

Ｎ5Ｖ5Ｈ5＝３２・９７２（５＋√２）

Λ6＝９１２３６＋５７１７２√２　　（一致）

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【まとめ】

　　Ｖ0＝１，Ｖ1＝１，Λ0＝１，Λ1＝１

とする．

　置換多面体の体積公式（角錐分解公式）は

　　Ｖn＝ΣＮjＨj／ｎ・Ｖn-j-1Ｖj

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

で与えられる．

　その正軸体版の体積は

　　Λn＝ΣＮjＨj／ｎ・Λn-j-1Ｖj

　　Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

　　Ｈk＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）／√２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋ｎ√２−（ｋ＋２）√２／２）・√（ｋ＋１）／２

＝（１＋（ｎ−１−ｋ／２）√２）・√（ｋ＋１）／２

で与えられる．

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