置換多面体とその正軸体版の２種類の多面体について，２つの方法，多面体の角錐分解とミンコフスキー和（平行体分解）で計算したところ，どちらの多面体でも４次元までは一致したものの５次元以上で乖離してしまった．

　面数公式と４次までの体積公式は正しいことは確かである．そこで，

　　Ｖk→Ｖk・Ｖn-k-1

とすれば，４次元の場合は

　　Ｖ4＝（Ｎ0Ｖ3Ｈ0＋Ｎ1Ｖ2Ｖ1Ｈ1＋Ｎ2Ｖ1Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Ｖ3Ｈ3）／４

　　Ｖ1＝１

となって，これまでの公式と一致する．

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　５次元の場合は

　　Ｖ5＝（Ｎ0Ｖ4Ｈ0＋Ｎ1Ｖ3Ｖ1Ｈ1＋Ｎ2Ｖ2Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Ｖ1Ｖ3Ｈ3＋Ｎ4Ｖ4Ｈ4）／５

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｎ0＝６，Ｎ1＝１５，Ｎ2＝２０，Ｎ3＝１５，Ｎ4＝６

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２，Ｖ4＝１２５√５／４

を計算してみよう．

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

ｎ＝５のとき

　　ｋ＝０→Ｈ0＝√１５／２

　　ｋ＝１→Ｈ1＝√６

　　ｋ＝２→Ｈ2＝３√３／２

　　ｋ＝３→Ｈ3＝√６

　　ｋ＝４→Ｈ4＝√１５／２

Ｎ0Ｖ4Ｈ0＝６・１２５√５／４・√１５／２＝１８７５√３／４

Ｎ1Ｖ3Ｖ1Ｈ1＝１５・８√２・√６＝２４０√３

Ｎ2Ｖ2Ｖ2Ｈ2＝２０・２７／４・３√３／２＝８１０√３／４

Ｎ3Ｖ1Ｖ3Ｈ3＝１５・８√２・√６＝２４０√３

Ｎ4Ｖ4Ｈ4＝６・１２５√５／４・√１５／２＝１８７５√３／４

Ｖ5＝３２４√３　　（一致）

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　６次元の場合は

　　Ｖ6＝（Ｎ0Ｖ5Ｈ0＋Ｎ1Ｖ4Ｖ1Ｈ1＋Ｎ2Ｖ3Ｖ2Ｈ2＋Ｎ3Ｖ2Ｖ3Ｈ3＋Ｎ4Ｖ1Ｖ4Ｈ4＋Ｎ5Ｖ5Ｈ0）／５

　　Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　Ｎ0＝７，Ｎ1＝２１，Ｎ2＝３５，Ｎ3＝３５，Ｎ4＝２１，Ｎ5＝７

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２，Ｖ3＝８√２，Ｖ4＝１２５√５／４，Ｖ5＝３２４√３

を計算してみよう．

　　Ｈk＝ｈk／２｜ｘ1−ａ1｜＝ｈk／｜１−ｙ1｜

＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2

ｎ＝６のとき

　　ｋ＝０→Ｈ0＝√２１／２

　　ｋ＝１→Ｈ1＝√３５／２

　　ｋ＝２→Ｈ2＝√４２／２

　　ｋ＝３→Ｈ3＝√４２／２

　　ｋ＝４→Ｈ4＝√３５／２

　　ｋ＝５→Ｈ4＝√２１／２

Ｎ0Ｖ5Ｈ0＝７・３２４√３・√２１／２＝２７２１６√７／８

Ｎ1Ｖ4Ｖ1Ｈ1＝２１・１２５√５／４・√３５／２＝１３１２５√７／８

Ｎ2Ｖ3Ｖ2Ｈ2＝３５・８√２・３√３／２・√４２／２＝１００８０√７／８

Ｖ6＝１６８０７√７／８　　（一致）

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