（その２）では２元２次形式のディオファントス方程式を取り上げました．
ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ （ａ，ｂ，ｃ，ｎは整数）
が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定し，それを決定するためのアルゴリズムが存在し，それは判別式をｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると
「ｎが判別式ｄのある２元２次形式で表現されるための必要十分条件は
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ｎ）
が解をもつことである．」
１９００年に提出されたヒルベルトの第１０問題：整数係数の多項式
ｆ（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）＝０
が整数解をもつかどうかを決定する普遍的アルゴリズムは，ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明され，ヒルベルトの第１０問題は否定的に解決されました．
一般に３変数以上，３次以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，３元３次形式：ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．しかし，２変数の多項式の場合，事情はまったく異なります．（その３）ではディオファントス方程式の有理数解，整数解についてまとめておきたいと思います．
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【１】２元１次形式
整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちますが，整数解に限っても整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｎは無数の整数解（ｘ，ｙ）をもちます．
（ａ，ｂ）の最大公約数をｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ）とすると
(1)ａｘ＋ｂｙ＝ｄは整数解をもつ（表せる最小のｎは最大公約数である）
(2)ａｘ＋ｂｙ＝ｎが整数解をもつ ←→ ｄ｜ｎ （ｎはｄの倍数：表せるｎは最大公約数の倍数全体となる）
(3)（ｘ0，ｙ0）を特殊解とすると一般解は
ｘ＝ｘ0−ｂｔ／ｄ，ｙ＝ｙ0＋ａｔ／ｄ （ｔはすべての整数をわたる．したがって，無数の解がある．）
３元１次形式ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｎでもｄ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ，ｃ）とすると，同様の結果
(1)ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄは整数解をもつ
(2)ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｎが整数解をもつ ←→ ｄ｜ｎ
が成り立ちます．
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【２】２元２次形式
二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解，（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．ところが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．
次に整数解についてですが，判別式をｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると，ｎが判別式ｄのある２元２次形式
ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ （ａ，ｂ，ｃ，ｎは整数）
で表現されるための必要十分条件は
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ｎ）
が解をもつことです．
なお，一般的な１次合同式はａｘ＝ｂ （ｍｏｄ ｎ）で論ずることができますが，２次合同式
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ｎ）
を考えることにより，より一般的な２次合同式
ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ｍｏｄ ｎ）
を考えることになります．ｄ＝ｂ^2−４ａｃ，ｙ＝２ｘ＋ｃとおけば
ｙ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ａｎ）
に変形されるからです．
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【３】ペル方程式（２元２次形式）
ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．
この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は
±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n ｎ＝０，±１，±２，・・・
により与えられます．
ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝−１の場合，√ｄの周期ｍが偶数のときは解は存在しません．ｍが奇数のとき，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は
±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n ｎ＝±１，±３，±５，・・・
により与えられます．
ペル方程式ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）の解法については，コラム「無理数・代数的数・超越数（その２）」の連分数展開を参照されたい．
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【４】トゥエ方程式（２元ｎ次形式）
１９０９年，ヒルベルトの第１０問題を受けて，トゥエはトゥエ方程式
ａ0ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1ｙ＋・・・＋ｘａnｙ^n＝ｍ （ｎ≧３）
は有限個の整数解しかもたないという注目すべき結果を得ました（トゥエの定理）．
この結果は，２元３次形式
ｘ^3−ｄｙ^3＝１
などに応用され，自明でない整数解は高々１つしかないという結果をもたらしました．また，
ｘ^3−３ｘｙ^2−ｙ^3＝１
の整数解は（１，０），（０，−１），（−１，１），（１，−３），（−３，２），（２，１）だけであることが示されています．
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【５】モーデル方程式（２元３次形式）
楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ｋ （ｋ：整数）の有理点に関して，たとえば，
ｋ＝−２：無限に多くの有理点をもつ
ｋ＝１ ：（０，±１），（−１，０），（２，±３）以外に有理点をもたない
ｋ＝−５：決して有理点をもたない
整数点に関して，モーデルは２元３次形式の簡約理論とトゥエの定理から整数点は有限個しか存在しないことを証明しました．
ｋ＝−２８：すべての整数解は（４，±６），（８，±２２），（３７，±２５５）
ｋ＝１１ ：整数解をもたない
ｋ＝−１１：すべての整数解は（３，±４），（１５，±５８）
モーデルは，この結果を
ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
に拡張したのですが，右辺の３次式は異なる零点をもつことから，３次式よりは４次式の簡約に依拠する必要があったようです．
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ジーゲルは任意の整数係数多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０が，整数解を有限個しかもたないための簡単な条件を与えることに成功しました．ジーゲルはｆ（ｘ，ｙ）＝０のよって表される曲線が種数１をもつならば，その条件は十分であることを証明したのですが，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．
この定理により，
「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない．」
これですべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．
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【６】フェルマー方程式（２元ｎ次形式）
フェルマー方程式：
ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n （ｎ≧３）
が整数解をもたないことについては，フェルマー（ｎ＝４），オイラー（ｎ＝３，１７７０年），ルジャンドルとディリクレ（ｎ＝５，１８２５年），ラメ（ｎ＝７，１８３９年），クンマー（正則素数），ソフィー・ジェルマン（ソフィー・ジェルマン素数，１８２３年），ヴィーフェリッヒ（２^(p-1)＝１ (mod p^2)を満たさない素数，１９０９年）などの証明があります．
モーデル・ファルティングスの定理（１９８３年）とは，「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない．」というものです．これはｎ≧４に対し，フェルマー方程式ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nの整数解は有限個しか存在しないという定理を特別な場合として含んでいます．
２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．
また，リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．
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【７】カタラン方程式
１８４４年，カタランは方程式：
ｘ^p−ｙ^q＝１
の整数解が（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）＝（３，２，２，３）だけであると予想しました．
ｐ＝２，ｑ＝３（オイラー，１７３８年），ｑ＝２（ルベーグ，１８５０年），ｐ＝３，ｑ＝３（ナゲル，１９２１年），ｐ＝４（セルバーグ，１９３２年），ｐ＝２（チャオ・コウ，１９６７年）などの研究があり，たとえば，ｘ^p−ｙ^2＝１は正の整数解をもたないというのがルベーグの定理です．
１９７５年，エルデスとセルフリッジは連続する整数の積は整数のベキでないこと，すなわち
ｙ^q＝ｘ（ｘ＋１）・・・（ｘ＋ｐ−１）
はすべてが＞１である整数解（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）をもたないことを証明しています．
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