正１２面体（θ＝３π／１０）　　正２０面体（θ＝π／６）

Ｐ0Ｐ3　　　τ√３　　　　　　　　　　　　　（τ^2＋１）^1/2

Ｐ1Ｐ3　　　τ^2　　　　　　　　　　　　　　τ

Ｐ2Ｐ3　　　τ^2（τ^2＋１）^1/2／√５　　　τ^2／√３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（その１８）では

［Ｑ］正１２面体の基本単体のなかに正２０面体の基本単体を入れ込むことはできるが，正２０面体の基本単体を２個入れ込むことは可能だろうか？

［Ａ］

　　τ^2（τ^2＋１）^1/2／√５／（τ^2＋１）^1/2＝τ^2／√５

　　τ^2：τ・τ^2／√５＝１：τ／√５

　　τ√３：τ^2／√３・τ^2／√５＝１：τ^3／３√５

において，

　　τ^3／３√５＜１／２

であれば可能であるが，そうはならない→不可能である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］それでは，正２０面体の基本単体を２個入れ込むようにしたとき，元素の総体積は増えるだろうか？

［Ａ］まず，現行の正１２面体の基本単体の体積を求める．

　　Ｖ0＝ｔａｎθ・τ^2／１２ｃｏｓθ，θ＝３π／１０

　正１２面体の基本単体のなかに正２０面体の基本単体を入れ込む場合，

　　τ^2（τ^2＋１）^1/2／√５／（τ^2＋１）^1/2＝τ^2／√５

より，正２０面体にτ^2／√５の縮尺をかければよいから，

　　　　　正２０面体（θ＝π／６）

Ｐ0Ｐ3　　　τ^4／√１５

Ｐ1Ｐ3　　　τ^3／√５

Ｐ2Ｐ3　　　τ^2（τ^2＋１）^1/2／√５

となる．

　したがって，現行の正１２面体の基本単体の体積を求める．

　　Ｖ1＝（τ^2／√５）^3・ｔａｎθ・τ^2／１２ｃｏｓθ，θ＝π／６

　次に，正１２面体をｋ倍する．

　　ｋτ√３：τ^2／√３・τ^2／√５＝ｋ：τ^3／３√５＝１：１／２

　　ｋ＝２τ^3／３√５

その体積は

　　Ｖ2＝ｋ^3・ｔａｎθ・τ^2／１２ｃｏｓθ，θ＝３π／１０

　Ｖ0とＶ2−Ｖ1の体積比較の問題となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　Ｖ0＝０．５１０８７３

　Ｖ1＝０．２３３４３９

　Ｖ2＝１．０２９１４

　Ｖ2−Ｖ1＝０．７９５６９８

となって，現行モデルの方が体積は小さい（予想通り）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝