あけましておめでとうございます．ペンタドロンの論文がやっと出版されたのでお知らせいたします．タイトルは

　　“Geometry-Intuitive，Discrete,　and　Convex”

　　　Bolyai Society Mathematical Studies　Vol.24 (2013)

SPRINGER から本の形になっています．

　２００８年の発見から５年以上経過した・・・．その後，わかったことをまとめておきます．

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［１］最小面数の正多面体元素を構成できたこと

　いまある正多面体元素の面数の和は２２である．正多面体元素定理より，最小元素数は４であるから，最小面数は１６以上（下限つき幾何学）．

［ａ］正４面体の基本単体

［ｂ］正八面体の基本単体

［ｃ］正２０面体の基本単体

［ｄ］正１２面体の基本単体

とすると立方体も構成することができ，面数の和は下限の１６となる．

［２］それらの体積の和をを最小化できること

　　［ｃ］［ｄ］から［ａ］［ｂ］を切り取ることができる．

［３］平行多面体の新しい元素が見つかったこと

　テトラドロンを２等分したものがペンタドロンである．テトラドロンは辺を２等分，３等分，・・・することによって８等分，２７等分，・・・が可能であるが．それらは自己相似になってしまうので元素ではない．テトラドロンは３等分，５等分，６等分，７等分できそうにない．

　そうなると可能性があるのは４等分であるが，４等分体は実在する（ＲＴ）．

［４］ａ，ｂを用いると，ＲＴを構成することができる．

　したがって，ａ，ｂの２元素で正四面体，正八面体，立方体，平行多面体を構成することができる．さらに２元素加えると，すべての正多面体と平行多面体を構成することができる．

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