π＝２｛ＡＧＭ（１，１／√２）｝^2／（１−Σ２^nｃn^2）

　　ＡＧＭ（１，１／√２）＝０．８４７２１３０８４７

より，ガウスは

　　ＡＧＭ（１，１／√２）＝π／２・１／Ｋ（１／√２）

であることを見抜き，その証明を与えた．

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【１】ガウスの公式による計算

100 PFILE$="scrn:"

110 OPEN PFILE$ FOR OUTPUT AS #1

120 A=1:X=1

130 B=1/SQR(2)

140 C=1/4

150 I=1

160 '

170 WHILE I<=20

180 Y=A

190 A=(A+B)/2

200 B=SQR(B*Y)

210 C=C-X*(A-Y)*(A-Y)

220 X=X*2

230 PRINT #1,I,(A+B)*(A+B)/C/4

240 I=I+1

250 WEND

260 CLOSE #1

270 END

1 3.14058

2 3.14159

3 3.14159

4 3.14159

5 3.14159

6 3.14159

7 3.14159

8 3.14159

9 3.14159

10 3.14159

11 3.14159

12 3.14159

13 3.14159

14 3.14159

15 3.14159

16 3.14159

17 3.14159

18 3.14159

19 3.14159

20 3.14159

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