■単純リー環を使った面数数え上げ(その115)
切頂多面体と切頂切稜多面体のアルゴリズムについて,細かい部分を詰めてみたところ,同じ行列表現を用いて得ることができることがわかった.実質的に両者を統一的な形に書くことができるのである.
このシリーズについてまとめておきたい.
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[1]ワイソフベクトルから,f0,f1,fn-1を求めることはすでに可能であったが,f2,f3,・・・,fn-2に対するワイソフ算術は未着手で,これらが求められているのは[11・・・11]だけであった.
[2]しかし,ムーディー論文を読んだあとは,それ以外のすべての準正多面体でも,一般的な公式が存在するか,または,適切な解の有限集合からすべての解を導くプロセスが存在するはずであることを確信した.
[3]ワイソフベクトルから,f2,f3,・・・,fn-2を求めることは難しいが,n−1次元までの情報がわかっている場合は,芋づる式に求められることがわかった.とくに切頂型は上の段がわかれば初等的に構成することができる.
[4]切頂切稜型の面数公式は,畳み込み式として得られる.切頂型の面数公式はnの一般式として初等的に求められるが,切頂切稜型の特殊例として,同じ公式の形に書くことができる.
[5]手順としては下位の多面体(旗多面体)のfベクトルをすべて求める.次に原正多面体がどこまで切頂されるかによって,重複の存在を知ることができる.共通部分を生ずる場合は,包除公式すなわち重複する分を引いて,引きすぎた分を足し直してということを繰り返す必要があるが,その辺の事情は意味論的に解釈することができる.
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