コラム「凧型２４面体の木工製作」では相貫円柱の共通部分が正八面体，菱形十二面体，凧型２４面体になることを述べた．これらはいずれも等軸晶系結晶に属する多面体である．以下に中川宏さんによるこれらの木工模型を掲げる．

　正八面体の二面角は１０９．４７１°である．

　　ｃｏｓθ＝−１／３　→　θ＝１０９．４７１°　　（正四面体角，マラルディの角）

菱形十二面体の菱形の鈍角も１０９．４７１°である．凧型２４面体の場合もどこかにマラルディの角が現れるはずであるが，どこに出現しているのだろうか？

　解答は落ち着いて考えればすぐにわかることなのだが，凧型２４面体の凧形の内角や二面角をくまなく計測してみても見つからないはずである．正八面体や菱形十二面体では（計測可能な）二面角，二辺角にマラルディの角が現れるが，凧型２４面体では（計算可能ではあっても）計測不可能な構成要素のところに現れるからである．

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【１】正八面体の場合

　正八面体は直交する３軸上に原点から等距離に６点をとって結んでできる正多面体である．正多面体の直投影図には中心に面・辺・頂点を置くものがあり，それぞれ面心図・辺心図・点心図と呼ばれる．正八面体の頂点には正三角形が４枚集まり，点心図は正方形となる．

　正八面体の面心図は正六角形，それに対して辺心図は対角線の長さの比が１：√２の菱形になり，二面角は１０９．４７１°となる．

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【２】菱形十二面体の場合

　断面の形が正方形の四角柱３本を中心軸が直交するように相貫させると，共通部分は立方体となる．しかし，四角柱をそれぞれ４５°回転させて直交させると共通部分は菱形１２面体となる．

　この共通部分がどのような形になるのか頭の中で想像するのはなかなか難しいが，ともあれ，これにより上からみても前からみても横からみても，田の字形を４５°回転させた投影図形が得られることになる．田の字の隅にあたる点が正八面体の６頂点である．

　菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形１２枚からできていて，菱形の鈍角は１０９．４７１°である．菱形十二面体の二面角はすべて１２０°であり「４次元の雪」と呼ばれる所以である．

　正方形の投影図形が得られる方向は３方向あるのに対して，正六角形の投影図形が得られる方向は４方向ある．同じことを頂点で調べてみると，菱形十二面体には菱形の鈍角が３枚集まっている頂点（ｏ3）が８個，鋭角が４枚集まっている頂点（ａ4）が６個あることがわかる．ｏ3の３つの稜線は平面に投影すれば１２０°で交わっているが，３つの頂角はすべて等しく１０９．４７１°になっている．

　ａ4を結ぶ３本の中心軸は立方体の対称性をもっていてそれらは直交する．それに対して，ｏ3を結ぶ４本の中心軸は正４面体の対称性をもっていて，それらはすべて１０９．４７１°で交差するのである．

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【３】凧型２４面体の場合

　凧型２４面体は辺長比1.29289，内角

　　鋭角（ａ）＝81.579°

　　鈍角（ｏ）＝,115.263°

　　ａとｏに挟まれた鋭角（ｂ）＝81.579°

の凧形を２４枚を貼り合わせた多面体で，二面角はすべて等しく138.118°と計算される．

　それでは

（Ｑ）凧型２４面体の場合も１０９．４７１°（正四面体角，マラルディの角）が現れるはずであるが，どこに現れているのだろうか？　

（Ａ）凧型２４面体では正八角形の投影図形が得られる方向が３方向ある．これらの対称軸は立方体の対称性をもっている．それに対して（一見正六角形様の）歪１２角形の投影図形が得られる方向が４方向ある．正方形の投影図形が得られる方向はない．

　同じことを頂点で調べてみると，鈍角が３個集まっている頂点（ｏ3）が８個，鋭角が４個集まっている頂点には２種類あり，ａ4が６個，ｂ4が１２個あることがわかる．ａ4を結ぶ３本の中心軸は立方体の対称性をもっていてそれらは直交し，ｏ3を結ぶ４本の中心軸はｘｙｚ軸の象限の中心なので正４面体の対称性をもっていて，それらはすべて１０９．４７１°で交差する．

　正八面体では面と面のなす角，菱形十二面体では辺と辺のなす角が１０９．４７１°であったが，凧型２４面体では頂点と頂点のなす角が１０９．４７１°というわけである．すなわち，正八面体の二面角が菱形十二面体の菱形の二辺角や凧型２４面体の二軸角に化けたような形になっていることがわかるだろう．

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