［Ｑ］正多面体の元素の総面数の最小数はいくつになるだろうか？

［Ａ］正多面体の元素数は４であるという正多面体元素定理において，４種類ともで四面体の構成できれば，元素の最小面数は１６であるという自明な下限が存在する．いわば下限付き幾何であるが，各正多面体には

［１］基本単体と呼ばれる四面体（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）から構成される（Ａ24，Ｂ48，Ｃ48，Ｄ120，Ｅ120）

［２］正四面体の元素Ａと正八面体の元素Ｂを使って立方体を構成できる

ことから．この段階で元素の最小面数１６のもの（Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅ）が構成できたことになる．

　このことは立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体ができることから予想されることであるが，果たしてもそうなったのである．

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　数学的にはそれでよいかもしれないが，木工製作する立場上はそれでは必要となる原料が多すぎて，コストパフォーマンスが悪い．そこで，元素相互の入れ子構造を考えることになる．

［１］正２０面体の基本単体Ｃのなかに正１２面体の基本単体Ａを入れ込むことができるが，その逆も可能である．

［２］正２０面体の基本単体Ｃのなかに正八面体の基本単体Ｂ，正八面体の基本単体Ｂのなかに正四面体の基本単体Ａを入れ込むことができができる．逆は不可．

であることから，

［ａ］正四面体の基本単体

［ｂ］正八面体の基本単体

［ｃ］正２０面体の基本単体−正四面体の基本単体を差し引いた残り

［ｄ］正２０面体の基本単体−正八面体の基本単体を差し引いた残り

とすると，４ピースの元素（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）で５種類の正多面体を作れる最小原料のものが構成できる．

　　正四面体ａ24，正八面体ｂ48，立方体ａ24ｂ24

　　正２０面体ａ120ｃ120，正１２面体ａ120ｂ120ｃ120ｄ120

　ここでａ，ｂ，ｃは四面体，ｄは五面体であるが，ｄのひとつの面はきわめて細長く，概四面体といってもよいほどである．元素の総面数は１７になるから，ほぼ最小面数の最小原料元素なのである．

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