３次元と４次元は正多面体の元素数が減少する特殊な次元といえるが，そこには別のもっと深い幾何学的な事情がある．元素数の減少が起こる理由を述べると・・・

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　３次元では立方体から直角三角錐を４個取り除くと正四面体，４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるため，元素数がひとつ減る．さらに，４次元の特殊性として１９２個のＲＰから正２４胞体が構成されるため，もうひとつ元素数は減るのである．

　一方，５次元以上の空間では元素数の減少が起こらない理由を述べると，５次元以上の空間では直角三角錘２^n-1個を取り除くと正多面体にならず，１種の準正多面体になる．また，２次元では正方形から直角三角形を２個取り除くと何も残らない．これが各次元における元素定理の正体なのである．

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　３次元正多面体の元素定理でカギを握っているのが直角三角錐（ＲＴ：right tetra）であることに気づけば，任意のｎ次元でも直角三角錐が有用になると考えるのは自然な発想，自然な成り行きであろう．

　すなわち，ｎ次元の直角三角錐２^n個で正２^n胞体ができる．また，この図形ｎ！個の体積は１辺の長さ２の正２ｎ胞体（体積：２^n）と等しくなる．正２ｎ胞体からはこの図形を２^n-1個を取り除くことができる．

　このことの基本単体版を考えると，正四面体の基本単体と正八面体の基本単体を組み合わせると，立方体の元素ができるはずであるが，実際，そのようになったのである．しかし，正１２面体と正２０面体の元素は簡約できないのである．

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