［Ｑ］５種類ある正多面体の元素数はいくつになるだろうか？

［Ａ］何種類かの凸多面体ピースを使ってすべての正多面体を作ることという問題では，実際に４種類の元素をα，β，γ，δとすると正四面体はα8，正２０面体はβ24，正八面体はβ24γ24，立方体はα8β12γ12，正１２面体はα8β12γ12δ12で構成されることを示すことができる．

　４種類の元素があればすべての正多面体を構成できる（十分条件）ことを示したあとは，どうしてもそれだけの元素が要るという必要条件を示すことによって，正多面体の元素数は４であるという結論が主張できる（証明略）．

　α，β，γ，δは正多面体に共通する元素の実例であるが，その形はは一意には定まらない．

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［Ｑ］正多面体の元素の総面数の最小数はいくつになるだろうか？

［Ａ］各正多面体は基本単体と呼ばれる四面体（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ）から構成される（Ａ24，Ｂ48，Ｃ48，Ｄ120，Ｅ120）．したがって，「自明な上限」すなわち元素の最小面数は２０であるという上限が存在する．

　いわば上限付き幾何であるが，正四面体の元素Ａと正八面体の元素Ｂを使って立方体を構成できることが示される．この段階で元素の最小面数は１６まで引き下げられる．

　これが最小面数の正多面体元素定理の答えであるが，確認のため，基本単体相互の入れ子構想を構成してみた．

［１］立方体の基本単体のなかに正八面体の基本単体を入れ込むことができるが，その逆も可能である．

［２］正２０面体の基本単体のなかに正１２面体の基本単体を入れ込むことができるが，その逆も可能である．

［３］正２０面体の基本単体のなかに正八面体の基本単体，正八面体の基本単体のなかに正四面体の基本単体を入れ込むことができができる．逆は不可．

　これらのことから，４ピースの元素（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）で５種類の正多面体を作れるものが構成できた．

　　正四面体ａ24，正八面体ｂ48，立方体ａ24ｂ24

　　正２０面体ａ120ｃ120，正１２面体ａ120ｂ120ｃ120ｄ120

　ここでａ，ｂ，ｃは四面体であるが，ｄは五面体であって，元素の総面数は１７になる．これでは５次方程式の解の公式を得ようとしたら６次方程式に帰着してしまったようなものである．

　これは「自明な上限」を考慮すると，各正多面体は高々２個に分解されるが，正１２面体の基本単体から正２０面体の基本単体を切り取ろうとすると，どうしても一方は５面体になってしまうためである．かくして，元素の構成面数はこれ以上減らせないことが証明できたというわけである．

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