中川宏さんはこれまでアルキメデス立体の双対としては菱形１２面体（立方八面体の双対），菱形３０面体（１２・２０面体の双対）を製作してきたが，今回のコラムでは，凧型２４面体（小菱形立方八面体［３，４，４，４］の双対）の木工製作を紹介する．

　凧形と２対の隣辺の長さが等しく対角線が直交する四角形のことで，合同な三角形２枚を１枚裏返して貼り合わせてできる形である．合同な凧形２４枚を貼り合わせた凧型２４面体は準正多面体の双対なので，内接球をもつ．

　いつもなら作り方を紹介するところであるが，読者の中には，

　　中川宏「多面体木工」，ＮＰＯ法人・科学協力学際センター

を読んでおられる方もいるし，パズル好きの方も多いようなので，今回は読者の皆様方ご自身で作り方を考えていただきたい．

　中川宏さんのご厚意により，正解・不正解の関わらず，応募していただいた方全員に凧型２４面体の模型をプレゼント，正解者には他にお好きな模型３種類をプレゼント．応募期間は９月末まで，下記まで応募されたい．

〇申込み先

http://ww6.enjoy.ne.jp/~hiro-4/tamenntaimokkou.html

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【１】ＭＭさん→中川宏さん

　「多面体木工」を申し込んでこられたＭＭさんから中川宏さんへのお便りを紹介します．

「多面体木工」ありがとうございます．多面体に興味を持って，その関連の本を集めていますが，製作タイプの本としては，

　　「多面体の模型　その作り方と鑑賞」（マグナスJ・ウェニンガー著）

　　「多面体の折紙」（川村みゆき著）

　　「立体図形の変化とそのデザイン」（えんどう けん著）

　　「CGで知る相貫体」（山口陸幸著）

と共に，すばらしい参考書が一冊増えました．本当にありがとうございます．

　読んで，特に感動したのは，正十二面体の製作過程で，「それはまるでさなぎから突然蝶が現れるような不思議さです」という記述です．一生，記憶に残る名文です．

　また，「未知の空間充填立体が発見される可能性が残されている」という文章もワクワクしました．「鉱物」の世界でも，「新鉱物」の発見がありますが，同じ様な関心があります．

　さて，私の鉱物関連コレクションの中に「木製結晶模型２４種」がありますが，けっこう高価でした．「WOOD CRYSTAL MODELS」には２１０タイプの模型があるそうで，「多面体木工」を読み，自分で作ってみたいという気持ちになりました．

　プラトン，アルキメデス，ケプラー，ロバート・ムーン，バックミンスター・フラーに繋がっている系譜としての「多面体」の魅力は「鉱物結晶」や「原子構造」の世界に繋がる「万物の美と神秘」の根源です．寄贈限定出版という貴重な本を頂き，本当にありがとうございました．

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【２】中川宏さん→佐藤郁郎

　私は「木製結晶模型」というものの存在を知りませんでしたので，お尋ねして写真を送っていただくようにお願いしたところ，写真と資料，そして６番（偏菱２４面体）の木製模型が送られてきました．それは一松信著「正多面体を解く」１１５ｐの凧形２４面体とおもわれました．ドイツのクランツ商会というところが１９世紀から作っている２００種余りの一部だということでした．

　その模型はとても見栄えよく作られていましたので，いったいどうやって作ったんだろうとよく観てみますと，表面の痕跡からどうやら研磨が施されているようでした．そのことから宝石の研磨技術のようなものが応用されていそうだと推測したのですが，凧形２４面体は木工法でも作れるのではないかと考えてみました．

　凧形２４面体は一松先生の本によると二面角１３８．１度となっていましたが，いただいたドイツ製の模型を実測してみると，それをはさんで，約−５度と＋５度の前後の２種類がありました．もともと鉱物の模型ですから，幾何学的に対称的なものとはかぎりません．

　そこで模型の実測値をもとに製作するのではなく，きちんとした凧形２４面体を木工法に基づいて製作するために，佐藤先生に投影図をお送りして，角度を計算していただくことにしました．

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【３】凧型２４面体の計量

　アルキメデス双対を作るためには，アルキメデス立体を球に内接させ，多面体の頂点における球の接平面上に，面心を投影する必要があります．準正多面体は球に内接しても外接しないので，各頂点に集まる面の中心を結んでできる多角形が平面多角形にならないからです．

　もとの立方体の１辺の長さを２，正方形面の１辺の長さをｄとおくと，準正多面体［３，４，４，４］の場合，立方体を

　　ｄ＝２（√２−１）

で切稜すると正方形６枚と六角形１２枚の２種類の面をもつ１８面体（切稜立方体）ができあがります．この１８面体は内接球をもつ唯一の切稜１８面体であるのみならず，Ｓ^3／Ｖ^2比が最小（すなわち，表面積の割に体積が大きい）という性質をもつ特別な切稜立方体となっています．

　外接球はもちませんが，この切稜立方体の六角形面が３枚集まる頂点を三角錐状に削り取ることによって，準正多面体［３，４，４，４］ができあがります．この準正多面体は斜立方八面体あるいは小菱形立方八面体と呼ばれているのですが，準正多面体ですから外接球をもつようになります．

(1)正方形面の頂点の座標：（ｄ／２，ｄ／２，１）

　明示的に書くと，ｄ＝２（√２−１）ですから

　　（√２−１，√２−１，１）

の±を含めた巡回置換によって得られることがわかります．そして，原点から頂点までの距離の２乗は

　　２（√２−１）^2＋１^2＝７−４√２＝Ｒ^2

(2)正方形面の中心の座標：（０，０，１）

(3)もとは六角形面だった正方形面の中心の座標：

　　（ｄ／４＋１／２，０，ｄ／４＋１／２，

　　（０，ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２）

(4)正三角形面の中心の座標：

　　（（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３）

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋z^2＝Ｒ^2ですから，(1)正方形面の頂点（ｄ／２，ｄ／２，１）における接平面は

　　　ｄ／２・ｘ＋ｄ／２・ｙ＋ｚ＝Ｒ^2

で与えられます．

　したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3),(4)を投影すると，それぞれ，

(2)→ｘ＝０，ｙ＝０とおく→（０，０，７−４√２）

(3)→ｘ＝ｚ，ｙ＝０とおく→（（−８＋７√２）／２，０，（−８＋７√２）／２）

(3)→ｙ＝ｚ，ｘ＝０とおく→（０，（−８＋７√２）／２，（−８＋７√２）／２）

(4)→ｘ＝ｙ＝ｚとおく→（（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７）

　これより凧形の辺長(1.028,0.795115)で辺長比は1.29289，内角は(81.579°×3,115.263°)，二面角はすべて等しく138.118°と計算されます．

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【補】相貫円柱

　断面の形が正方形の四角柱を中心軸が直交するように相貫させると，共通部分は立方体となる．２本のときでも３本のときでも立方体である．しかし，半径が等しい２つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分がどのような形になるのか，頭の中で想像するのもなかなか難しい．

（Ｑ）２本の円柱が直角に交わっているとき，共通部分の体積はいくらか．

（Ａ）直角の交差する２本の円筒がテーブルの上に横にして置かれているとしよう．どちらの円筒にも球を入れることができるから，２本の共通部分は球より大きく，球を正八面体状に膨らましたものになる．

　共通部分に球を入れたまま，テ−ブルに水平な平面で２本の円筒を切断すると，切り口は球に接する正方形になる．円とその外接正方形の面積比はπ：４であるから，カバリエリの原理により，球の体積の４／π倍であることがわかる．単位球であれば

　　４π／３×４／π＝１６／３

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　アルキメデスは円柱の直径をｄとするとその体積は

　　２／３ｄ^3

になることを知っていたようである．円柱を３本にすると同じように得られる曲面立体についてはより複雑になる．

（Ａ）半径が等しい３つの円柱を中心軸が直交するように相貫させたとき，その共通部分は立方八面体の双対である菱形１２面体を丸く膨らましたような形で１２の曲面で囲まれた立体になる．その体積は円柱の直径をｄとすると

　　（２−√２）ｄ^3

になる．

（Ａ）半径が等しい４つの円柱を中心軸が正４面体の対称性をもって相貫させたとき，その共通部分は菱形立方八面体の双対である凧型２４面体を丸く膨らましたような形で２４枚の側面をもつ．その体積は円柱の直径をｄとすると

　　３√２／２（２−√３）ｄ^3

になる．

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