そろそろクリスマスなので，星にちなんだ多面体を設計しておきたい．星形多面体といっても大十二面体（ＧＤ）などケプラー・ポアンソの多面体はすでに木工製作済みであるから，今回は１２・１２面体（dodecadodecahedron：ＤＤ）を取り上げてみたい．

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【１】１２・１２面体（ＤＤ）

　１２枚の正５角形と１２枚の星形５角形からなる，面が自己交差する図形で，各頂点には２枚の正５角形と２枚の星形５角形が集まっている．

　直観的には，正１２面体の各面を星形５角形に置換した様な形をしている．とはいっても星形５角形は正５角形の頂点に内接したペンタグラムではなく，正５角形の辺の中点に内接した形になっていることに注意されたい．

　なお，正５角形の１辺の長さを１とする通常のペンタグラムは，対角線の長さがτであって，それが１／τ：１／τ^2：１／τに内分される．

　　τ＝１／τ＋１／τ^2＋１／τ

　　τ^3＝２τ＋１＝τ^2＋τ

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【２】１２・１２面体の計量

　１辺の長さ（１＋１／τ^2）^1/2の正１２面体を考える．すると７個の頂点は

　　Ａ（τ／２，ｙ，ｚ）

　　Ｂ（τ／２−ｘ，ｙ，ｚ）

　　Ｃ（τ／２−ｘ，−ｙ，ｚ）

　　Ｄ（τ／２＋ｘ／√５，ｙ，ｚ−２ｘ／√５）

　　Ｅ（τ／２＋ｘ／√５，−ｙ，ｚ−２ｘ／√５）

　　Ｆ（τ／２−ｘ＋ｘ／√５，２ｙ，ｚ−２ｘ／√５）

　　Ｇ（τ／２−ｘ＋ｘ／√５，２ｙ，ｚ−２ｘ／√５）

となる．

　ただし，

　　ｙ＝１／４τ・（１＋１／τ^2）^1/2

　　ｘ＝ｙ・ｃｏｔ（π／１０）

　　ｚ＝τ^2／２

　計算すると，辺の長さは

　　０．５８７７８６，０．３６３２７１（＝２ｙ），０．７２６５４３（＝４ｙ）

二面角は

　　１１６．５６５°，６３．４５３°

となる．

　この楔状多面体を正１２面体の辺数の分だけ配置すると，１２・１２面体を構成することができる．

の

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