球面Σ^2，トーラスＴ^2＝Σ^1×^1，射影平面Ｐ^2などの^2は省略する．（その１）（その２）より，連結和の中にＴ^2が入っていると，２つのＰ^2で置き換えられる．たとえば，

　　Ｐ＃Ｔ＝Ｐ＃Ｐ＃Ｐ＝３Ｐ

　　Ｐ＃Ｐ＃Ｔ＃Ｔ＝Ｐ＃Ｐ＃Ｐ＃Ｐ＃Ｐ＃Ｐ＝６Ｐ

　１次元の連結な閉多様体はＳ^1しかない．１次元の連結な閉多様体は（その１）（その２）ですべて分類された．

　さらに，３次元，４次元の連結な閉多様体を分類してみたくなるのは自然であるが，３次元の連結な閉多様体を分類することは今日に至ってもでできていない．それどころか４次元以上の連結な閉多様体を分類することは不可能であることがわかっている（ノビコフ）．しかし，いくつかの事実は知られている．

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【１】ロホリンの定理（４次元の罠，１９５１年））

　向きづけられた４次元の単連結ＰＬ閉多様体が，偶数の交点形式をもてば，その符号数は１６で割り切れる．

　この定理の奇妙さは，８で割り切れるだけでなく，さらに２倍の１６で割り切れなければならないのであるが，それによって，ロホリンの定理は２次元球面Ｓ^2を４次元多様体に埋め込むための障害になっている．

　それは４次元多様体のある特殊事情に負う４次元特有の現象なのであるが，そして，ロホリンの定理の奇妙な正確のもう一つは，それが４次元の定理ながら高次元位相多様体のも関わりをもち，５次元以上のすべての次元を支配していることである．

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【２】ポアンカレのつまづき

　１８９５年，ポアンカレは論文の中で誤った定理「３次元球面（４次元球の表面）

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2＝１　　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄは実数）

はホモロジー群の計算から特徴づけられる」を発表した．

　１８９８年，ポアンカレはこの誤りに気づき，３次元球面と同じホモロジー群をもつが，それとは基本群の異なる３次元多様体

　　ｘ^2＋ｙ^3＋ｚ^5＝０，｜ｘ｜^2＋｜ｙ｜^2＋｜ｚ｜^2＝１　　　（ｘ，ｙ，ｚは複素数）

を構成してみせた．

　そして，１９０４年，「任意の単連結な３次元閉多様体は３次元球面に同相か？」という問いを残した．これが有名な（３次元）ポアンカレ予想である．天才ポアンカレの誤りは生産的であったというわけである．

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【３】ミルナー

　ミルナーが７次元球面（８次元球の表面）の異種微分構造，いわゆる「エキゾチックな球面」を発見したことで，ポアンカレ予想は大きな分岐点を迎えることになった．

　この研究を契機に４次元以上では

［１］微分可能ポアンカレ予想

［２］位相的ポアンカレ予想

の２つに分けて議論されるようになった．［１］が正しければ［２］も正しい．ただし逆は必ずしも真ならず．

　さらに，ミルナーは７次元以上で微分可能ポアンカレ予想は一般に正しくないことを発表した．

　また，スメールは５次元以上で位相的ポアンカレ予想は正しいことを発表した．これと前後してミルナーは５次元と６次元で微分可能ポアンカレ予想も正しいことを発表した．

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【４】他の研究者たち

　３次元では微分可能ポアンカレ予想＝位相的ポアンカレ予想は同じ問題であること（［１］＝［２］），４次元以上では一般に異なる問題であること（［１］≠［２］）を解明した．

　したがって，１９６０年代には次の３つのポアンカレ予想が未解決であった．

［３］４次元位相的ポアンカレ予想（→１９８１年，フリードマンが解決）

［４］３次元微分可能・位相的ポアンカレ予想（→２００２年，ペレルマンが解決）

［５］４次元微分可能ポアンカレ予想（→未解決であるが２０１０年になって部分的解決）

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