■正５角形・正７角形とトレミーの定理（その１３）
四角形については，プトレマイオス（トレミー）の定理「円に内接する四角形の対角線の積は，対辺の積の和に等しい」がある．
ＡＣ・ＢＤ＝ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
この定理において，もし四角形が長方形ならば
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2
となり，ピタゴラスの定理に帰着する．
また，４点が同一円周上にないとき，不等式
ＡＣ・ＢＤ＜ＡＢ・ＣＤ＋ＢＣ・ＤＡ
が成り立つ．
今回のコラムでは，三角形についての等式・不等式を紹介したい．
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任意の三角形に対して
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ＝ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
が成り立つ．
この式は
γ＝π−（α＋β）
として，ｔａｎの加法公式を用いることにより容易に証明される．役に立つかどうかは別として，私にとってこの公式は対称性のある美しい公式と感じられる．もちろん，美しく感じるかどうかは主観的であり，強制すべきものではないが，きっと多くの人の美意識にも訴えるに違いない（希望）．
同様に，任意の三角形に対して
ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝４ｃｏｓα／２ｃｏｓβ／２ｃｏｓγ／２
ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β＋ｓｉｎ２γ＝４ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ３β＋ｓｉｎ３γ＝−４ｃｏｓ３α／２ｃｏｓ３β／２ｃｏｓ３γ／２
ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝１＋４ｓｉｎα／２ｓｉｎβ／２ｓｉｎγ／２
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等式の世界も面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．
鋭角三角形ならば，算術平均≧幾何平均より
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
前項より，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧３3√ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ
したがって，
ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ≧√２７＝３√３
であるから，
ｔａｎα＋ｔａｎβ＋ｔａｎγ≧３√３ （等号は正三角形のとき）
を容易に証明することができる．
少し気分を変えて，次の不等式はどうだろうか？
（問題）
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８
（証明）
２ｓｉｎβｓｉｎγ＝ｃｏｓ（β−γ）−ｃｏｓ（β＋γ）
＝ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα
ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ
＝１／２ｓｉｎα（ｃｏｓ（β−γ）＋ｃｏｓα）
≦１／２ｓｉｎα（１＋ｃｏｓα）
これより極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，
ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△
また，正弦法則
ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ
より，
ａｂｃ≦３√３Ｒ^3
と同値である．
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（問題）△ＡＢＣ内の１点をＰ，面積を△とすると，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧２√（（√３）△）
等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐが重心のときに限る．
（証明）
ｎ角形の周の長さが与えられているとき，面積の最大のものは正ｎ角形であるから，
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ．
そこで，Ｐの辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに関する対称点をＡ’，Ｂ’，Ｃ’とし，六角形ＡＣ’ＢＡ’ＣＢ’に不等式
Ｌ^2≧４ｎＳｔａｎ（π／ｎ）
を使えばよい．ここで，Ｌ＝２（ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ），Ｓ＝２△
なお，△≧√（２７）ｒ^2が成り立つので，
ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧６ｒ
これは，エルデシュの定理の特別な場合になっていて，シュライバーの定理とも呼ばれる．
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さらに補足すると，ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘは区間［０，π］において凹であることから，
ｓｉｎＡｓｉｎＢ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）／２）^2
ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）／３）^3
ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣｓｉｎＣ≦（ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）／４）^4
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Ａ，Ｂ，Ｃが三角形の内角ならば
ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≦３√３／８
ｓｉｎ（Ａ／２）ｓｉｎ（Ｂ／２）ｓｉｎ（Ｃ／２）≦１／８
ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝４ｃｏｓ（Ａ／２）ｃｏｓ（Ｂ／２）ｃｏｓ（Ｃ／２）≦３√３／２
ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｒ／Ｒ＋１
ここで，Ｒ≧２ｒ（オイラーの不等式）を用いると
ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≦３／２
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