不足の条件を補うには，余弦定理よりもトレミーの定理

　　「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積

　　　　　ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ」

を活用した方が簡単である．正９角形は次の通り簡単にできます．

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　３つとびの対角線ｚは円に内接する正三角形の１辺に等しいのでｚ＝√３．ｘ^2ｙ^2ｚ^2ｗ^2＝９から，ｘｙｗ＝√３・・・(1)

２ｘ^2＋２ｙ^2＋２ｚ^2＋２ｗ^2＝１８から，ｘ^2＋ｙ^2＋ｗ^2＝６・・・(2)

　トレミーの定理から多数の（独立でない）条件式がでるが，Ｐ1Ｐ2Ｐ4Ｐ5という内接四角形より，ｘ^2＋ｙｗ＝ｚ^2＝３・・・(3)

(1)を代入してｘ^2＋√３／ｘ＝３，すなわち

　　ｘ^3−３ｘ＋√３＝０

がでます．これは有理数の範囲で因数分解でき素，２次方程式に帰着されないので、定規とコンパスで作図できません．

　なお，ｘ＝２ｓｉｎπ／９＝０．６８４０４０２８６・・・が，ｘ^3−３ｘ＋√３＝０の解であることを確かめました．トレミーの定理から他にも

　　ｘｚ＋ｘ^2＝ｙ^2，ｙ^2＋ｙｚ＝ｗ^2，ｘｙ＋ｘｗ＝ｙｚ＝√３ｙ

などがでますのでｙ，ｗもいろいろ表現できると思います．

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