正７角形・正９角形が３次方程式に帰着されて，定規とコンパスだけでは作図できないことはアルキメデスまで遡ります．今日の記号を使えば，次のようになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［正７角形］ｘ^7−１＝０を解く．（ｘ−１）（ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋１）＝０として，後の項を

　　（ｘ^3＋１／ｘ^3）＋（ｘ^2＋１／ｘ^2）＋（ｘ＋１／ｘ）＋１＝０

ｘ＋１／ｘ＝ｔと置き換えて

　　ｔ^3＋ｔ^2−２ｔ−１＝０

左辺は有理数の範囲で既約なので，２次式では解けない．

［正９角形］ｘ^9−１＝０を解く．（ｘ^3−１）（ｘ^6＋ｘ^3＋１）＝０として，後の項を

　　（ｘ^3＋１／ｘ^3）＋１＝０

と変形して，ｘ＋１／ｘ＝ｔと置くと

　　ｔ^3−３ｔ＋１＝０

上述と同様に２次式では解けない．なお，これをカルダノの方法で解くと

　　ｔ＝ｕ＋ｖ，ｕ^3＋ｖ^3＝−１，ｕｖ＝１

から

　　ｕ^3，ｖ^3＝（−１＋ｉ√３）／２＝ｃｏｓ（１２０°）＋ｉｓｉｎ（１２０°）

であり，

　　ｕ＝ｃｏｓ（４０°）＋ｉｓｉｎ（４０°）

　　ｖ＝ｃｏｓ（４０°）−ｉｓｉｎ（４０°）

　　ｕ＋ｖ＝２ｃｏｓ（４０°）

　　他の解は２ｃｏｓ（１６０°），２ｃｏｓ（２８０°）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝