円弧上の動点からｎ個の頂点までの距離の２ｍ乗和は，定数となって

　　2mＣmｎ　　（ｎ＞ｍ）

に等しいのに対して，２ｍ＋１乗和は定数にならない．

　円弧上の動点からｎ個の頂点までの距離の奇数乗和では，何か面白い性質はないのだろうか？　ｎ＝５，ｍ＝０の場合を考えてみよう．

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［定理］正五角形ＡＢＣＤＥとその外接円がある．弧ＣＤ上に点Ｐをとる．このとき，

　　ＰＡ＋ＰＣ＋ＰＤ＝ＰＢ＋ＰＥ

が成り立つ．

（証）ＰＡ＝ａ，ＰＢ＝ｂ，ＰＣ＝ｃ，ＰＤ＝ｄ，ＰＥ＝ｅ

　　１辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとする．

　トレミーの定理より，

　　ｃｙ＋ｄｙ＝ａｘ

　　ｃｙ＋ｄｘ＝ｂｙ

　　ｃｘ＋ｄｙ＝ｅｘ

　これより，ｙを消去すると

　　ｘ（ａ＋ｃ＋ｄ）＝ｘ（ｂ＋ｅ）

　　ａ＋ｃ＋ｄ＝ｂ＋ｅ

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