１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたない．正方形と正五角形の対角線の長さは１種類である．対角線の長さが１種類なのは正方形と正五角形に限られる．正六角形と正七角形の対角線の長さは２種類である．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．すべての辺（ｎ本）と対角線（ｎ（ｎ−３）／２本），合計ｎ（ｎ−１）／２本の長さの平方和（sum of squares）を求めよ．

［Ａ］ｎが奇数のときも偶数のときもＳＳ＝ｎ^2．ｎのパリティーによって違いを生じない．

　これは，正ｎ角形が半径１の円に内接しているとき，

［定理１］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの２乗和は頂点数の２倍に等しい．

　　Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ

と同値である．

　さらに，

［定理２］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数ｎに等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｎ

［定理３］対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｎ^2−１）／１２

が成立する．

　これらを拡張する方向としては，ひとつには次元を大きくすること（単位円→単位球→ｄ次元単位球），もうひとつには指数を大きくすることである（Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ→Σ(1,n-1)ｄj^m＝？）．

　結論を先にいうと定理１は任意の次元で通用するのに対して，定理２，３は２次元の場合のみで成立する．

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【１】正五角形の作図可能性の証明

　辺の長さをｘ，対角線の長さをｙとすると（ｘ＜ｙ），

　　［定理１］→２ｘ^2＋２ｙ^2＝１０，ｘ^2＋ｙ^2＝５

　　［定理２］→ｘ^2ｙ^2＝５

　x^2、ｙ^2は２次方程式

　　Ｘ^2−５Ｘ＋５＝０

の２実根であるから，

　　ｘ^2＝（５−√５）／２，ｙ^2＝（５＋√５）／２

すなわち，（複）２次方程式の範囲内で（ｘ，ｙ）が求まる．

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