今回のコラムでは，前回書ききれなかった２ｎ＋１個の尖点をもつ星状領域の面積Ｓnが掛谷定数：（５−２√２）π／２４に収束すること，すなわち

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４＜π／１１

となることをプログラムとともに紹介してみたいのであるが，その前にｎ尖点ハイポサイクロイドの面積について述べることにする．

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【１】ｎ尖点ハイポサイクロイドの面積

　ｎ個の尖点をもつハイポサイクロイドは，パラメータθを用いて

　　ｘ＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ＋ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

と記述されます．θで微分すると

　　ｘ’＝−（ｎ−１）ｒｓｉｎθ−（ｎ−１）ｒｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｙ’＝（ｎ−１）ｒｃｏｓθ−（ｎ−１）ｒｃｏｓ（ｎ−１）θ

　ここで注意しなければならないことは，θは極座標（ｒ，θ）のパラメータではないことです．そのため，

　　Ｓ＝1/2∫ｒ^2ｄθ　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2

として計算すると

　　Ｓ＝（ｎ^2−２ｎ＋２）・πｒ^2

となって正しい値が得られません．

　計算方法はいくつか考えられるのですが，

　　Ｓ＝∫ｙｄｘ＝∫ｙｘ’ｄθ

として計算するのが最も簡単なようです．その結果，ハイポサイクロイドの面積は

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）・πｒ^2

で表されることが計算されます．定円の半径をＲ（＝ｎｒ）とした場合は，

　　Ｓ＝（ｎ−１）（ｎ−２）／ｎ^2・πＲ^2

となります．

　デルトイドの場合はｎ＝３，Ｒ＝３ｒですから

　　Ｓ＝２πｒ^2

となって回転円の面積の２倍に等しくなります．また，ｎ→∞のとき

　　Ｓ→πＲ^2

となって定円の面積に近づきます．

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【２】星状領域の面積

　ベシコビッチの論文がでた１９２７年以降も，単連結となる最小の星状領域はデルトイド（面積：π／８）であると信じられていました．ところが，これらより面積が小さい図形が考えだされました．

　デルトイドが３個の尖点をもっていることに着目すると，５個の尖点，７個の尖点，・・・をもつ図形を考えることができるのです．たとえば，２ｎ＋１個の尖点と円弧をもち，図形全体が内接している円に直交している星状領域（面積：Ｓn）を考えます．

　θ＝π／（２ｎ＋１）として，中心が（ｒ，ｄ）の半径ｄの円弧では

　　ｄ＝ｒ（１＋ｃｏｓθ）／ｓｉｎθ

と計算され，そして，半径ｒの円の直径上に長さ１の線分がおけるものとすると，

　　√（ｘ^2＋ｙ^2）＝１−ｒ

ですから

　　ｘ＝（１−ｒ）ｃｏｓθ

　　ｙ＝（１−ｒ）ｓｉｎθ

　すると

　　Ｓ1＝１／２ｒ^2ｔａｎθ−１／２ｒ^2θ

　　Ｓ2＝１／２（ｒ−ｘ）（ｄ−ｒｔａｎθ）

　　Ｓ3＝１／２ｄ^2ａｒｃｔａｎ（ｒ−ｘ）／（ｄ−ｙ）−Ｓ1−Ｓ2

として星状領域の面積は

　　Ｓn＝πｒ^2−２（２ｎ＋１）Ｓ3

で求められます．

　ここで，ｒは２次方程式

　　（４＋４ｃｏｓθ）ｒ^2−（４＋４ｃｏｓθ）ｒ＋１＝０

の大きな方の実根として求められます．

　ｎが大きくなるにつれてその面積はπ／１１よりも小さくなります．そして，ｎ→∞のとき

　　ｒ→（２＋√２）／４（.853553）

　　Ｓn→（５−２√２）π／２４（.284258）＜π／１１（.285599）

を示すことができます．（この解析的な極限値は畏友・阪本ひろむ氏に検算してもらいました．）

　この形はフーコーの振り子を何万回もらせたときの形になりますが，尖点の個数ｎを増やしたとしても面積を際限なく減らすことは不可能で，その面積はπ／１１より大きくはならないし，π／１０８以下にはできないこと，そして下限は（５−２√２）π／２４以下であることがブルームとシェーンベルグにより発見されたというわけです（１９６３年）．

　　π／１０８≦Ｋ≦（５−２√２）π／２４＜π／１１

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【３】掛谷定数の計算結果

　ここでは解析的な結果でなく，数値計算の結果を示します．

ｎ　　　　　　　ｒ　　　　　　Ｓn

1 .788675 .300904

2 .83437 .290756

3 .844221 .2876

4 .848014 .286284

5 .84988 .285616

6 .850937 .285233

7 .851595 .284994

8 .852032 .284814

9 .852338 .284709

10 .852559 .284627

20 .853294 .284336

30 .853436 .284321

40 .853487 .284193

50 .853511 .284723

60 .853524 .284483

70 .853531 .28351

80 .853537 .283473

90 .85354 .283648

100 .853543 .284463

　３尖点星状領域はデルトイドよりもやせた図形で，このときすでに掛谷定数に近い値が得られます．５個の尖点をもつ図形の場合，その面積はデルトイドの面積π／８（.392699）の約３／４（.290756）になります．ｎを大きくすると数値計算誤差のため，計算結果が揺らいでしまいます．

　以下の図ではデルトイドも同時に示しますが，デルトイドとは異なり，これらの星状図形の接線が曲線に挟まれる部分の長さは一定であるという性質は成立しません．点Ｐをこの曲線上の任意の点とすると，点Ｐが尖点上にあるとき接線の長さは最大になります．（接線の長さが一定という決定的な性質をもつ領域は存在するのでしょうか？）

［１］３尖点星状領域

［２］５尖点星状領域

［３］７尖点星状領域

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