任意のａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項に分解することを考えてみます．

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／ｐ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｑ）

公式

ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））

を使うと，

　　１／ｎ＝（１／ｐ＋１／ｑ）／（１−１／ｐｑ）

　　ｎ＝（ｐｑ−１）／（ｐ＋ｑ）

　　ｑ＝（ｎｐ＋１）／（ｐ−ｎ）

　ここで，ｐ＝ｎ＋ｍとおくと

　　ｑ＝ｎ＋（ｎ^2＋１）／ｍ

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（ｍ／（ｎ^2＋ｍｎ＋１））

したがって，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になることがわかります．

　逆に，ｎ^2＋１＝ｋｍのときだけ

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｋ））

が成り立つのですが，ｎ^2＋１＝ｋｍとなるのはどのようなときなのでしょうか？

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【１】ガウス整数

　ａ，ｂを整数として

　　ａ＋ｂｉ

で表される複素数が「ガウスの整数」です．ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」．

　また，すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で，１の４乗根である

　　±１，±ｉ

の４個の単数があります．ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします．

　素数は複素数体でも定義されますが，ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです．数論の教えるところによると，複素数体においても，単数を除いて，素因数分解の一意性が成立します．

　４ｋ＋３型素数はやはりガウス素数ですが，２および４ｋ＋１型素数はガウス素数の積に分解されるのです．

　　２＝（１＋ｉ）（１−ｉ）＝ｉ（１−ｉ）^2

　　５＝（１＋２ｉ）（１−２ｉ）

　　２９＝（５＋２ｉ）（５−２ｉ）

　ガウス素数を列挙すると

　　１±ｉ，３，２±ｉ，７，１１，３±２ｉ，４±ｉ，１９，２３，５±２ｉ，３１，・・・

となりますが，

　　１±ｉ，２±ｉ，３±２ｉ，４±ｉ，５±２ｉ

はそれぞれ２，５，１３，１７，２９，・・・すなわち，２および４ｋ＋１型素数に対応するガウス素数ということになります．

　また，ａ＋ｂｉがガウス素数ならばその共役ａ−ｂｉやそれに単数±１，±ｉを掛けたｂ±ａｉなど計８通りもガウス素数ですが，単数の違いを除いて，その表し方は本質的に１通りというわけです．

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【２】ガウスの素因数分解

［１］たとえば，５＋ｉでは

　　（５＋ｉ）（５−ｉ）＝５^2＋１＝２６＝２・１３

　　　２→１±ｉ，１３→３±２ｉ

です．複素数の掛け算は偏角の足し算に対応しますから，偏角を幾何学的に考慮することによって

　　５＋ｉ＝（１＋ｉ）（３−２ｉ）

と素因数分解することができます．

［２］７０＋ｉでは

　　（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９

　　　１３→３±２ｉ，２９→５±２ｉ

ですから

　　７０＋ｉ＝ｉ（３−２ｉ）^2（５−２ｉ）

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【３】ステルマー分解

　　ｎ±ｉ

はガウスの整数ですが，ここではａ＋ｂｉではなく，ｎ±ｉなる複素数を使って分解することを考えます．

　冒頭に掲げたことより，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になりますが，そのようなｍは２と４ｋ＋１型素数の積，あるいは，ｎ^2＋１の約数として表現できることがわかります．

　　ｍ＝１，２，５，１０，１３，１７，２５，２６，２９，３４，３７，４１，５０，５３，５８，６１，６５，７３，７４，８２，８５，８９，９７，・・・

　ｍではなくｎについては，ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，

　ｎ＝７　　　　７^2＋１＝５０＝２・５^2　→　ｐ＝５

　ｎ＝１８　　　１８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝５７　　　５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝２３９　　２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３

もステルマー数ではありません．一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．

　最初の３０個のステルマー数ｎとそれに対応する最大素因数ｐは，

　　　ｎ　　　ｐ　　　　ｎ　　　ｐ　　　　ｎ　　　　ｐ

　　　１　　　２　　　１５　１１３　　　２８　　１５７

　　　２　　　５　　　１６　２５７　　　２９　　４２１

　　　４　　１７　　　１９　１８１　　　３３　　１０９

　　　５　　１３　　　２０　４０１　　　３４　　　８９

　　　６　　３７　　　２２　　９７　　　３５　　６１３

　　　９　　４１　　　２３　　５３　　　３６　１２９７

　　１０　１０１ 　２４　５７７　　　３７　　１３７

　　１１　　６１ 　２５　３１３　　　３９　　７６１

　　１２　　２９　　　２６　６１７　　　４０　１６０１

　　１４　１９７　　　２７　　７３　　　４２　　３５３

［１］５はステルマー数ですから，５＋ｉのステルマー分解はそれ自身になります．

［２］７０＋ｉでは

　　（７０＋ｉ）（７０−ｉ）＝７０^2＋１＝４９０１＝１３^2・２９

ですから，７０はステルマー数ではありません．

　　１２±ｉ→１２^2＋１＝５・２９

となることから，２９でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは１２です．すなわち，最初のステルマー数は１２になります．

　ステルマー分解を求めるには，ｎがステルマー数となっている数ｎ±ｉを元の数ａ＋ｂｉに繰り返し掛けていきます．このとき，符号は対応する素数ｐをキャンセルできるように選びます．この例では

　　（７０＋ｉ）（１２＋ｉ）＝８３９＋８２ｉ→×

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝８４１−５８ｉ＝２９（２９−２ｉ）

ですから，

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）

　　　５±ｉ→５^2＋１＝２・１３

より，１３でｎ^2＋１が割り切れる最小のｎは５です．すなわち，次のステルマー数は５ですから，

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５＋ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５＋ｉ）＝２９（１４７−１９ｉ）→×

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）＝２９（２９−２ｉ）（５−ｉ）＝２９（１４３−３９ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）

　同様のことを繰り返すと

　　（７０＋ｉ）（１２−ｉ）（５−ｉ）（５−ｉ）＝３７７（１１−３ｉ）（５−ｉ）＝９８０２（２−ｉ）

２はステルマー数ですから，これですべてステルマー数に対応する複素数となりました．実数の偏角はすべて０です．したがって，偏角については

　　ａｒｃｔａｎ（１／７０）−ａｒｃｔａｎ（１／１２）−２ａｒｃｔａｎ（１／５）＝−ａｒｃｔａｎ（１／２）

が成り立つことがわかります．

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【４】雑感

　ガウスは，ガウス整数がガウス素数の積に一意に分解できることを発見しました．それに対して，ステルマーはどんなａｒｃｔａｎ（ｘ）もｎがステルマー数になっているａｒｃｔａｎ（１／ｎ）の和として一意に表されることを発見しました．

　ステルマーはノルウェー（オスロ大学）の数学者．数論に興味を持っていましたが，オーロラの研究もした人です．セルバーグはリーマン予想にいままでで一番近づいた人と評されますが，オスロ大学で数学を勉強していた頃，ラマヌジャンの数学について紹介したステルマーの文章を読んで影響を受けたようです．

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