【１】オイラーの分割数

　「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．

　たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．（分割を図形的に表す方法にヤング図形がある．ヤング図形は非増加な非負整数列を表現する印象的な方法である．）

　分割数は以下の公式によって代数的に定義することができることがわかります．

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=(1+x+x^2+･･･)(1+x^2+x^4+･･･)(1+x^3+x^6+･･･)(1+x^4+x^8+･･･)･･･

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

すなわち，f(x)は分割関数p(n)の母関数で，p(n)はｘ^nの係数になっています．

　ここで，

　　φ(x)=Π(1-x^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+･･･

と定義します．ｘのベキに５角数が表れます．

　実はオイラーの５角数定理を用いると，分割関数に対する再帰関係式

　　Σp(n-j(3j±1)/2)(-1)^j=0

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+･･･

が得られます．これより

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

を効率的に計算することができます．

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

（証）φ(q)=Π(1-q^k)とおく．

　　Σp(5n+4)q^n=5{φ(q^5)}^5/{φ(q)}^6

の右辺の展開を考えると合同式が証明される．

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【２】ヤコビの３重積公式

　　(a;q)n=(1-a)(1-aq)･･･(1-aq^(n-1))=Π(1-aq^k)

なる記号を導入すると

　　(q;q)n=(1-q)(1-q^2)･･･(1-q^n)=Π(1-q^k)

になるが，ヤコビの３重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

は

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m x=-z

と表現される．ヤコビの３重積公式はテータ関数そのものを表している．

［１］ヤコビの３重積公式において，ｑをすべてｑ^3に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺はΠ(1-q^3n)(1-q^3n-1)(1-q^3n-2)=Π(1-q^n)=(q;q)∞となり，

　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^m･q^(m(3m+1)/2)　　　（オイラーの５角数定理）

と表される．

　オイラーは

(1)ｎが五角数でない限り，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数と奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数が等しいこと，

(2)ｎが五角数ならば，正の整数ｎを偶数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数−奇数個の異なる正の整数の和で表す方法の総数＝（−１）^k，ｎ＝ｋ（３ｋ＋１）／２

を示したことになる．

［２］また，ｑをすべてｑ^2に置き換え，ｘ＝ｑとすれば，左辺は

　　Π(1-q^2n)(1-q^2n-1)^2

ここで，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという結果に対応する

　　Π(1-q^2n-1)=Π1/(1+q^n)

より，

　　Π(1-q^n)/(1+q^n)=Σ(-1)^m･q^(m^2)　　（ガウスの４角数定理）

［３］今度はｘ＝−ｑとすれば，(-1;q)∞=2Π(1+q^n)より，左辺は

　　2Π(1-q^2n)(1+q^n-1)=2Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)

右辺はΣ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)であるが，m(m+1)/2はm=-1/2について対称であるから和を取る範囲をm:-∞~∞からm:0~∞に狭めることができて

　　Σ(-∞~∞)q^(m(m+1)/2)=2Σ(0~∞)q^(m(m+1)/2)

これより

　　Π(1-q^2n)/(1-q^2n-1)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:0~∞　　　（ガウスの３角数定理）

［４］ｘ＝δとすれば，

　　(x;q)∞(q/x;q)∞(q;q)∞=(1-δ)(δq;q)∞(q/δ;q)∞(q;q)∞

　　Σ(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･x^m=Σ(1~∞)(-1)^m･q^(m(m-1)/2)･(δ^m-δ^-m+1)=Σ(0~∞)(-1)^m+1･q^(m(m+1)/2)･δ^-m(δ^2m+1-1)

両辺を(1-δ)で割り，δ→１とすれば，

　　左辺→Π(1-q^n)^3

　　右辺→Σ(0~∞)(-1)^m-1･(2m+1)q^(m(m+1)/2)

より，

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

［５］三角数等式

　ヤコビの三重積公式

　　Σz^nq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^n)(1+zq^n)(1+z^(-1)q^(n-1))

において，ｚ＝１とすれば，

　　Σq^(n(n+1)/2)=Π(1-q^2n)(1+q^(n-1))

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1+q^n)(1-q^2n+2)=Σq^(m(m+1)/2)　　m:-∞~∞

［６］七角数等式

　ｑをすべてｑ^5に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)=Π(1-q^5n)(1-q^5n-1)(1-q^5n-4)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^5n+1)(1-q^5n+4)(1-q^5n+5)=Σ(-1)^mq^(m(5m+3)/2)　　m:-∞~∞

［７］ｍ角数等式

　ｑをすべてｑ^m-2に置き換え，ｚ＝−１／ｑとすれば，

　　Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)=Π(1-q^(m-2)n)(1-q^(m-2)n-1)(1-q^(m-2)n+1)

が得られる．ここで，右辺が第０項から始まるようにパラメータをずらすと，

　　Π(1-q^(m-2)(n+1))(1-q^(m-2)(n+1)-1)(1-q^(m-2)(n+1)+1)=Σ(-1)^nq^(n((m-2)n+m-4)/2)　　m:-∞~∞

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【３】ラマヌジャンの関数

　ガウスやヤコビはオイラー関数の３乗を考察して，等式

　　Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)　　　（ヤコビの３角数定理）

を証明しました．

　クラインはオイラー関数の８乗を考察して，等式

　　Π(1-q^n)^8＝Σ(1/3+3/2(3klm-kl-lm-mk))q^(ｰ(kl+lm+mk)

　　ｋ＋ｌ＋ｍ＝１

を証明しました．

　ラマヌジャンは，オイラー関数の２４乗

　　Δ(z)＝η(z)^24＝qΠ(1-q^n)^24＝Στ(n)q^n

ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

　　　　　 η(z)はデデキントのイータ関数，η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n)

を考え，そのフーリエ係数τ(n)を計算しました．

　　τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,

　　τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,

　　τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･

　無限積をベキ級数に展開した式（フーリエ展開）が登場しましたが，このΔ(z)は，重さ１２の保型形式

　　Δ(az+b/cz+d)=(cz+d)^12Δ(z)

と呼ばれるものになっていて，オイラーの五角数公式の拡張（２４乗版）と考えられます．

　ラマヌジャン数は，オイラーの分割数のアナローグであり，

(1)ｍとｎが素ならば，τ(m)τ(n)＝τ(mn)

　　τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)

　　τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)

　　τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)

(2)τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))　　　（漸化式）

(3)τ(n)＝σ11（ｎの約数の１１乗の総和）　　（ｍｏｄ　６９１）

(4)τ(n)＝ｎ^2σ7　　（ｍｏｄ　２７）

(5)τ(n)＝ｎσ3　　（ｍｏｄ　７）

など，驚くような性質をもっています．

　１９１６年，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)

とおくと（オイラー積のアナローグ）

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです．

　歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

　また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

　このようにして，

　　τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp　　　（０≦θp≦π）

なるθpがただひとつとれます．そこで，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は

　　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．この予想は２００９年，テイラーにより証明されました．

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【４】マクドナルドの公式

　現在では，オイラー関数のｎ^2−１乗を考察したマクドナルドの公式が知られています．

　　８＝３^2−１

　　２４＝５^2−１

　　４８＝７^2−１

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