【１】正規化された多重三角関数

　じつは多重化三角関数Ｓr（ｘ）はほんの序章であって，正規化された多重三角関数Ｓr（ｘ；（ω1，ω2，・・・，ωr））の話しに繋がっていき，さらに新型保型形式論へと発展しています．

　　Ｓ2（１／２；（１，１））＝２^(1/2)　←→　I=∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

　　ζ(3)＝１６π^2／３ｌｏｇ（２^(-1/8)／Ｓ3（３／２；（１，１，１）））

　　Ｓ3（１／２）＝Ｓ3（３／２；（１，１，１））^14/3２^(5/6)

　　ζ(3)＝１６π^2／３ｌｏｇ（２^(3/8)／Ｓ3（１／２））

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　なお，ガンマ関数にも多重サイン関数のような無限積表示

　　Γ（ｘ）＝∫(0,∞)t^(x-1)ｅｘｐ（−ｔ）ｄｔ

　　　　　　＝１／ｘΠ（１＋１／ｎ）^x（１＋ｘ／ｎ）^(-1)

が知られています．

［補］ガンマ関数の乗法公式

［１］倍数公式

　　Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)

　　Γ（x）Γ（x+1/2）＝（２π）^(1/2)Γ（2x）／２^(2x-1/2)

　　Γ（x+1/2）＝（π）^(1/2)Γ（2x+1）／２^(2x)Γ（x+1）

［２］三重公式

　　Γ（x）Γ（x+1/3）Γ（x+2/3）＝２πΓ（3x）／３^(3x-1/2)

［３］ｎ重公式

　　ΠΓ（x+(k-1)/n）＝ｎ^(1/2ｰnx)（２π）^(n-1)/2Γ（nx）

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［補］ウォリス積

　　４／π＝３^2／（３^2−１）・５^2／（５^2−１）・７^2／（７^2−１）・・・

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