【１】ウォリスの公式

　ウォリスの公式は

　　π／２＝（２・２／１・３）（４・４）／（３・５）（６・６）／（５・７）・・・（２ｎ・２ｎ）／（（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

と記すとわかりやすい．この公式の不思議なところは有理数の無限積→πになっている点である．

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　それでは，

［Ｑ］全素数にわたる積

　　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

を求めよ．

［Ａ］当該の式

　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

は

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）

と書いたほうがわかりやすいかもしれない．これはオイラー積であって，

　ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^s ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2／６

に等しい．

　よって，

　　π^2／６＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

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［１］ｐを素数，ｑを２以上の非素数，ｒを２以上の自然数とする．このとき，全素数にわたる積

　　Ｐ＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・＝π^2／６

であったが，

　　Ｑ＝（４・４／３・５）（６・６／５・７）（８・８／７・９）・・・（ｑ・ｑ／（ｑ−１）・（ｑ＋１））・・・＝？

　まず，Ｑ＞１は自然に浮かぶところであるが，ｎ≧２として

　　Ｐ・Ｑ＝Πｎ^2／（ｎ^2−１）＝Πｎ／（ｎ−１）・ｎ／（ｎ＋１）

＝２／１・２／３・３／２・３／４・・・ｎ／（ｎ−１）・ｎ／（ｎ＋１）

はうまくキャンセルアウトして

　　Ｐ・Ｑ＝２／１・ｎ／（ｎ＋１）→２

　Ｐ＝π^2／６より，Ｑ＝１２／π^2

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