■スターリングの公式の同値な言い換え(その4)

 アイゼンシュタイン級数を

  Ek(τ)=ζ(1-k)/2+Σσk-1(n)exp(2πinτ)

と定義する.

 kが4以上のとき,Ek(τ)はモジュラー群SL2(z)に対する保型形式となっている.

  Ek(-1/z)=z^kEk(z)  (双対性)

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【1】ラマヌジャンの和

 ラマヌジャンは

  Σn^5/(exp(2πn)-1)=1/504

を発見したが,それは

  E6(τ)=ζ(-5)/2+Σσ5(n)exp(2πinτ)

=-1/504+Σσ5(n)exp(2πinτ)

から証明することができる.

(証)

  E6(-1/z)=z^6E6(z)

z=iとすると

  E6(i)=-E6(i) → E6(i)=0

  Σσ5(n)exp(-2πn)=1/504

 ここで,

  Σσ5(n)exp(-2πn)=ΣΣm^5exp(-2πn)

=Σn^5/(exp(2πn)-1)=1/504

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  Σn/(exp(2πn)-1)=1/24-1/8π

(証)k=2のとき

  E2(τ)=ζ(-1)/2+Σσ(n)exp(2πinτ)

=-1/24+Σσ(n)exp(2πinτ)

  E2(-1/z)=z^2E2(z)

は成り立たないが,

  E2(-1/z)=z^2E2(z)-z/4πi

が知られている.

z=iとすると

  E2(i)=-E2(i)-1/4π → E2(i)=-1/8π

  Σσ5(n)exp(-2πn)=1/504

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【2】おまけ

  Γ(x)Γ(1-x)=π/sin(πx)

  Γ(1-x)/√(2π)=(Γ(x)/√(2π))^-1(2sinπx)^-1

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