アイゼンシュタイン級数を

　　Ｅk(τ)＝ζ（１－ｋ）／２＋Σσk-1（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

と定義する．

　ｋが４以上のとき，Ｅk(τ)はモジュラー群ＳＬ2(z)に対する保型形式となっている．

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

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【１】ラマヌジャンの和

　ラマヌジャンは

　　Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）－１）＝１／５０４

を発見したが，それは

　　Ｅ6(τ)＝ζ（－５）／２＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

＝－１／５０４＋Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

から証明することができる．

（証）

　　Ｅ6(-1/z)＝z^6Ｅ6(z)

ｚ＝ｉとすると

　　Ｅ6(ｉ)＝－Ｅ6(ｉ)　→　Ｅ6(ｉ)＝０

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（－２πｎ）＝１／５０４

　ここで，

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（－２πｎ）＝ΣΣｍ^5ｅｘｐ（－２πｎ）

＝Σｎ^5／（ｅｘｐ（２πｎ）－１）＝１／５０４

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　　Σｎ／（ｅｘｐ（２πｎ）－１）＝１／２４－１／８π

（証）ｋ＝２のとき

　　Ｅ2(τ)＝ζ（－１）／２＋Σσ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

＝－１／２４＋Σσ（ｎ）ｅｘｐ（２πｉｎτ）

　　Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)

は成り立たないが，

　　Ｅ2(-1/z)＝z^2Ｅ2(z)-z/4πi

が知られている．

ｚ＝ｉとすると

　　Ｅ2(ｉ)＝－Ｅ2(ｉ)－１／４π　→　Ｅ2(ｉ)＝－１／８π

　　Σσ5（ｎ）ｅｘｐ（－２πｎ）＝１／５０４

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【２】おまけ

　　Γ（ｘ）Γ（１－ｘ）＝π／ｓｉｎ（πｘ）

　　Γ（１－ｘ）／√（２π）＝（Γ（ｘ）／√（２π））^-1（２ｓｉｎπｘ）^-1

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