アイゼンシュタイン級数を
Ek(τ)=ζ(1-k)/2+Σσk-1(n)exp(2πinτ)
と定義する.
kが4以上のとき,Ek(τ)はモジュラー群SL2(z)に対する保型形式となっている.
Ek(-1/z)=z^kEk(z) (双対性)
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【1】ラマヌジャンの和
ラマヌジャンは
Σn^5/(exp(2πn)-1)=1/504
を発見したが,それは
E6(τ)=ζ(-5)/2+Σσ5(n)exp(2πinτ)
=-1/504+Σσ5(n)exp(2πinτ)
から証明することができる.
(証)
E6(-1/z)=z^6E6(z)
z=iとすると
E6(i)=-E6(i) → E6(i)=0
Σσ5(n)exp(-2πn)=1/504
ここで,
Σσ5(n)exp(-2πn)=ΣΣm^5exp(-2πn)
=Σn^5/(exp(2πn)-1)=1/504
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Σn/(exp(2πn)-1)=1/24-1/8π
(証)k=2のとき
E2(τ)=ζ(-1)/2+Σσ(n)exp(2πinτ)
=-1/24+Σσ(n)exp(2πinτ)
E2(-1/z)=z^2E2(z)
は成り立たないが,
E2(-1/z)=z^2E2(z)-z/4πi
が知られている.
z=iとすると
E2(i)=-E2(i)-1/4π → E2(i)=-1/8π
Σσ5(n)exp(-2πn)=1/504
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【2】おまけ
Γ(x)Γ(1-x)=π/sin(πx)
Γ(1-x)/√(2π)=(Γ(x)/√(2π))^-1(2sinπx)^-1
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