［１］スターリングの公式の同値条件

　スターリングの公式は

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

ですが，ゼータ正規化積

　　Πｎ＝√（２π）

という解釈を与えることができる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］ウォリスの公式の同値条件

　ウォリスの公式

　　ｌｉｍ１／√ｎ・２・４・・・（２ｎ）／１・３・・・（２ｎ−１）＝√π

は

　　ｓｉｎ（π／２）＝１

と同値である．

（証）ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠ（１−ｘ^2／ｎ^2π^2）

を用いると，

　　ｓｉｎ（π／２）＝π／２Π（１−１／４ｎ^2）

　ここで，

　　Π（１−１／４ｎ^2）＝Π（２ｎ−１）（２ｎ＋１）／（２ｎ）^2

＝｛１・３・・・（２ｎ−１）／２・４・・・（２ｎ）｝^2√ｎ＝１／√π

　したがって，

　　ｓｉｎ（π／２）＝１

←→ｌｉｍ｛１・３・・・（２ｎ−１）／２・４・・・（２ｎ）｝^2（２ｎ＋１）＝２／π

←→ｌｉｍ｛１・３・・・（２ｎ−１）／２・４・・・（２ｎ）｝（２ｎ＋１）＝２／π　　（ウォリスの公式）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［３］ウォリスの公式の同値条件（その２）

　ウォリスの公式

　　ｌｉｍ１／√ｎ・２・４・・・（２ｎ）／１・３・・・（２ｎ−１）＝√π

は

　　Γ（１／２）＝√π

と同値である．

（証）Γ（ｘ）の無限積表示

　　Γ（ｘ）＝１／ｘ・ｅｘｐ（−γｘ）Π｛（１＋ｘ／ｎ）^-1ｅｘｐ（ｘ／ｎ）｝

を用いると，

　　Γ（１／２）＝２・ｅｘｐ（−γ／２）Π｛（１＋１／２ｎ）^-1ｅｘｐ（１／２ｎ）｝

　ここで，右辺は

２ｎ／（２ｎ＋１）ｅｘｐ（１／２（１＋１／２＋・・・＋１／ｎ−ｌｏｇｎ）−γ／２））・１／√ｎ・２・４・・・（２ｎ）／１・３・・・（２ｎ−１）

となるので，

　　Γ（１／２）＝ｌｉｍ１／√ｎ・２・４・・・（２ｎ）／１・３・・・（２ｎ−１）＝√π

が確認される．

　なお，

　　Γ（ｘ）＝１／ｘ・ｅｘｐ（−γｘ）Π｛（１＋ｘ／ｎ）^-1ｅｘｐ（ｘ／ｎ）｝

　　Γ（１−ｘ）＝（−ｘ）Γ（−ｘ）

＝ｅｘｐ（γｘ）Π｛（１−ｘ／ｎ）^-1ｅｘｐ（−ｘ／ｎ）｝

より，

　　Γ（ｘ）Γ（１−ｘ）＝１／ｘ・Π｛（１−ｘ^2／^2ｎ）^-1

＝π／ｓｉｎ（πｘ）

が得られる．

　これは三角関数が２つのガンマ関数の積に分解できることを意味している．

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