［Ｑ］１辺の長さが√２の正四面体の体積を求めよ．

［Ａ］正攻法（馬鹿正直）に求めてもよいが，１辺の長さが１の立方体に内接させると

　　Ｖ＝１−４／６＝１／３

　この求め方は「半立方体」の性質を利用したものといえる．それでは

［Ｑ］正１６胞体の体積を「半立方体」の性質を利用して求めよ．

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【１】半立方体（hemicube／demihypercube）

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）のひとつおきの頂点において，そこと相隣る頂点全体を通る超平面で切り落として残る図形は半立方体（hemicube）と呼ばれる．

　　ｆ0＝Ｗ（Ｄn）／Ｗ（Ａn-1）＝２^n-1

　　ｆ1＝Ｗ（Ｄn）／Ｗ（Ａ1）^2Ｗ（Ａn-31）＝２^n-2（ｎ，２）

　たまたま，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体となるが，５次元以上ではそれほど簡単な図形ではない．

［Ｑ］５次元以上では正多面体にならないことを示せ．

［Ａ］頂点数はｆ0＝２^n-1であるが，５次元以上ではｎ＋１，２ｎ，２^nと相異なる．

　５次元の場合は，１６個の正５胞体と１０個の正１６胞体で囲まれた立体（中心対称ではない）である．６次元になると，この図形１２個と５次元の正単体３２個で囲まれた図形である．

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【２】半立方体の要素数

　半立方体（ｎ次元の超立方体において，ひとつおきの頂点（全体で２^n-1個）を結んでできる図形）の要素数を計算してみたところ，やはり，７次元までは個別にうまく計算できたものの８次元でゆきづまりました．ｎ≧４では側面（１次元低い胞）が２種類現れて，次元を下げていってもｆ4以上で２種類の図形が複雑に絡み合うのが原因です．

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１６，８０，１６０，１２０，１６＋１０）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（３２，２４０，６４０，６４０，１９２＋６０，３２＋１２）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（６４，６７２，２２４０，２８００，１３４４＋２８０，４４８＋８４，６４＋１４）

　ｆ2は正三角形，ｆ3は正四面体，ｆ4以上で２種類の形の各々の和

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［Ｑ］１辺の長さが１の正１６胞体の体積を「半立方体」の性質を利用して求めよ．

［Ａ］１辺の長さが１の４次元立方体に内接させると

　　Ｖ＝１−８／４！＝２／３

　４次元立方体のひとつおきの頂点

　　±（１，１，１，１）

　　±（１，１，−１，−１）

　　±（１，−１，１，−１）

　　±（１，−１，−１，１）

を結ぶと，１辺の長さ２√２の正１６胞体をなす．その体積は２^8／４！．

　したがって，もとの立方体との体積比は

　　（２^4−２^8／４！）：２^4＝２：３

になるのである．

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