置換多面体｛３，３，・・・，３｝（１，１，・・・，１，１）およびその正軸体版｛３，３，・・・，４｝（１，１，・・・，１，１）対する面数公式は

［１］置換多面体

　　ｆ0＝（ｎ＋１）！

　　ｆ1＝ｎ／２・ｆ0

　　ｆn-1＝２（２^n−１）

　　ｎ＝２　→　ｆ0＝６，ｆ1＝６

　　ｎ＝３　→　ｆ0＝２４，ｆ1＝３６，ｆ2＝１４

［２］正軸体版

　　ｆ0＝２^n・ｎ！

　　ｆ1＝ｎ／２・ｆ0

　　ｆn-1＝３^n−１

　　ｎ＝２　→　ｆ0＝８，ｆ1＝８

　　ｎ＝３　→　ｆ0＝４８，ｆ1＝７２，ｆ2＝２６

の通りである．

　（その１０２）（その１０３）の成功と（その１０４）の失敗は，置換多面体およびその正軸体版以外の多面体

　　｛５，３｝（１，１，１），｛３，５｝（１，１，１）

　　｛５，３，３｝（１，１，１，１），｛３，３，５｝（１，１，１，１）

　　｛３，４，３｝（１，１，１，１）

の面数公式を思い出させるものであった．

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【１】原正多胞体の基本単体数

［１］３次元

　　正１２面体（ｆ0＝２０，ｆ1＝３０，ｆ2＝１２）

　　正２０面体（ｆ0＝１２，ｆ1＝３０，ｆ2＝２０）

［２］４次元

　　正１２０胞体（ｆ0＝６００，ｆ1＝１２００，ｆ2＝７２０，ｆ3＝１２０）

　　正６００胞体（ｆ0＝１２０，ｆ1＝７２０，ｆ2＝１２００，ｆ3＝６００）

　　正２４胞体　（ｆ0＝２４，ｆ1＝９６，ｆ2＝９６，ｆ3＝２４）

のひとつの辺を構成する頂点数をｋ1（常に２），ひとつの面を構成する辺数をｋ2，・・・，ひとつのｎ次元多胞体を構成する（ｎ−１）次元胞数をｋnで表すと

　　正１２面体＝｛２，５，１２｝

　　正２０面体＝｛２，３，２０｝

　　正１２０胞体＝｛２，５，１２，１２０｝

　　正６００胞体＝｛２，３，４，６００｝

　　正２４胞体＝｛２，３，８，２４｝

となる．

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【２】ｆ0，ｆ1とｆn-1

　頂点数ｆ0は対称領域への分割数Πｋjで表されるから，それぞれの基本単体数ｇと等しくなる．

　　正２０面体群：ｆ0＝１２０

　　正６００胞体群：ｆ0＝１４４００

　　正２４胞体群：ｆ0＝１１５２

　また，単純多面体（頂点の次数はｎ）であるから

　　２ｆ1＝ｎｆ0

が成り立つ．

　　正２０面体群：ｆ1＝１８０

　　正６００胞体群：ｆ1＝２８８００

　　正２４胞体群：ｆ1＝２３０４

　胞数ｆn-1は原正多胞体のΣｆjで表されるから，

　　正２０面体群：ｆ2＝６２

　　正６００胞体群：ｆ3＝２６４０

　　正２４胞体群：ｆ3＝２４０

　残りはオイラーの恒等式により

　　正６００胞体群：ｆ2＝１７０４０

　　正２４胞体群：ｆ2＝１３９２

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【３】まとめ

　　正２０面体群：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（１２０，１８０，６２）

　　正６００胞体群：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（１４４００，２８８００，１７０４０，２６４０）

　　正２４胞体群：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（１１５２，２３０４，１３９２，２４０）

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