ｎ次元ユークリッド空間における球充填密度Δ（ｎ）のｎ→∞における漸近挙動が，

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−．５９９

であること，そして

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ　→　−１　　　（ｎ→∞）

が成り立つかどうかが問題になっている．

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【１】球充填密度（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの下界

　ミンコフスキーは，数の幾何学の理論を利用して，

　　Δ≧ζ(n)／２^(n-1)

を得た．ここで，ｎ→∞とするとき，リーマンのゼータ関数

　　ζ(n)＝Σ1/k^n→１

であるから，

　　ｌｏｇ2Δ≧−ｎ＋１

したがって

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≧−１

となる．

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【２】球充填密度（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎの上界

　一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられる．

　　Δ≦ｄn≦１

すべてのｎに対して，

　　（−ｎ≦）ｌｏｇ2Δ≦−ｎ／２＋ｌｏｇ2（ｎ／２＋１）

が成り立ち，ｎ→∞のとき，

　　ｄn　〜　（ｎ／ｅ）２^(-n/2)

であるから，これで，ｎ→∞のとき，

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５

が得られる．

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

はそれを精緻化したものである．その詳細は，０＜φ＜π／２に対して

　　（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦（１＋ｓｉｎφ）／２ｓｉｎφｌｏｇ2（１＋ｓｉｎφ）／２ｓｉｎφ−（１−ｓｉｎφ）／２ｓｉｎφｌｏｇ2（１−ｓｉｎφ）／２ｓｉｎφ

≦−１／２ｌｏｇ2（１−ｃｏｓφ）−０．０９９０

≦−．５９９０

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【３】まとめ

　格子状，非格子状の最密充填配置における

　　−１≦（ｌｏｇ2Δ（ｎ））／ｎ≦−０．５９９

という結果は，次元がひとつ増すごとに充填密度Δ（ｎ）がおよそ１／２〜１／１．５１になるという計算が成り立つことを示している．

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