４次元正軸体系の切頂，切頂切稜多面体を含むすべての多面体に対して，

［１］まず，意味論的に整理して

［２］次にアルゴリズムを機械的に適用して

問題を洗い出してみたい．

　切頂多面体と切頂切稜多面体のアルゴリズムは相いれるだろうか？　［１］から始める．

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［１］（１０００）→ｆ＝（８，２４，３２，１６）

　恒等写像．

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［２］（０１００）→ｆ＝（２４，９６，９６，２４）

　頂点に（１００）→（６，１２，８）ができる．原正多面体は頂点と辺が消失する．

ｆ0＝８・６＝４８　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・１２＝９６　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・８＋３２・１＝９６　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１＋１６・１＝２４　　（ＯＫ）

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［３］（００１０）→ｆ＝（３２，９６，８８，２４）

　頂点に（０１０）→ｆ＝（１２，２４，１４）ができる．しかし，辺上で（１０）→ｆ＝（４，４）が重複する．原正多面体は頂点と辺と面が消失する．

　すなわち，βnの頂点がｔβn-1に置き換わると考えると，２ｎ個の頂点と２ｎ（ｎ−１）個の辺と４ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）個の面が消えて，ｔβn-1個の頂点と辺と面になる．これからβn-2個の頂点と辺と面を差し引く．

　すると，最終的な頂点数と辺数と面数は

　　２ｎｔβn-1（０）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（０）

　　２ｎｔβn-1（１）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（１）

　　２ｎｔβn-1（２）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（２）

３次元面以上は残存するから，

　　２ｎｔβn-1（ｋ）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（ｋ）＋２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

｛３，４）（０１０）→ｆ＝（１２，２４，１４）

｛４｝（１０）→ｆ＝（４，４）

ｆ0＝８・１２−２４・４＝０　　（ＮＧ）

ｆ1＝８・２４−２４・４＝９６　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４−２４・１＝８８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１−２４・０＋１６・１＝２４　　（ＯＫ）

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［４］（０００１）→ｆ＝（１６，３２，２４，８）

　逆写像

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［５］（１１００）→ｆ＝（４８，１２０，９６，２４）

　頂点に（１００）→ｆ＝（６，１２，８）ができる．原正多面体は頂点が消失する．

ｆ0＝８・６＝４８　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・１２＋２４・１＝１２０　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・８＋３２・１＝９６　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１＋１６・１＝２４　　（ＯＫ）

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［６］（１０１０）→ｆ＝（９６，２８８，２４０，４８）

　頂点に（０１０）→ｆ＝（１２，２４，１４）ができる．　頂点に（０１０），辺に（１０）柱ができている．（辺上で（１０）→ｆ＝（４，４）が重複するのではない）．原正多面体は頂点が消失する．

（０１０）→ｆ＝（１２，２４，１４）

（０１）→ｆ＝（４，４）

（１）→ｆ＝（１）

（１）

ｆ0＝８・１２＝９６　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・２４＋２４・４＝２８８　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４＋２４・４＋３２・（１）＝２４０　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋２４＋１６＝４８はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［７］（１００１）→ｆ＝（６４，１９２，２０８，８０）

　頂点に（００１）→ｆ＝（８，１２，６）ができる．辺上に（０１）柱→ｆ＝（４，４），面上に（１）面ができる．原正多面体は頂点が消失する．

（００１）→ｆ＝（８，１２，６）

（０１）→ｆ＝（４，４）

（１）→ｆ＝（１）

（２）

ｆ0＝８・８＝６４　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・１２＋２４・４＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・６＋２４・４＋３２・（２）＝２０８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１＋２４・１＋３２・１＋１６・１＝８０　　（ＯＫ）

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［８］（０１１０）→ｆ＝（９６，１９２，１２０，２４）

　頂点に（１１０）→ｆ＝（２４，３６，１４）ができる．しかし，辺上で（１０）→ｆ＝（４，４）が重複する．原正多面体は頂点と辺が消失する．

　すなわち，βnの頂点がｔβn-1に置き換わると考えると，２ｎ個の頂点と２ｎ（ｎ−１）個の辺が消えて，ｔβn-1個の頂点と辺になる．これからβn-2個の頂点と辺を差し引く．

　すると，最終的な頂点数と辺数は

　　２ｎｔβn-1（０）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（０）

　　２ｎｔβn-1（１）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（１）

２次元面以上は残存するから，

　　２ｎｔβn-1（ｋ）−２ｎ（ｎ−１）βn-2（ｋ）＋２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

｛３，４）（１１０）→ｆ＝（２４，３６，１４）

｛４｝（１０）→ｆ＝（４，４）

ｆ0＝８・２４−２４・４＝９６　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・３６−２４・４＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４−２４・１＋３２＝１２０　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１＋１６＝２４　　（ＯＫ）

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［９］（０１０１）→ｆ＝（９６，２８８，２４８，５６）

　頂点に（１０１）ができているが，辺は消失していて，正方形面を重複して数え上げていることになる．

（１０１）→ｆ＝（２４，４８，２６）

（０１）→ｆ＝（４，４）

（２）

ｆ0＝８・２４−２４・４＝９６　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・４８−２４・４＝２８８　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・２６−２４・１＋３２・（２）＝２４８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋３２＋１６＝５６はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［１０］（００１１）→ｆ＝（６４，１２８，８８，２４）

　頂点に（０１１）→ｆ＝（２４，３６，１４）ができる．辺で（１１）→ｆ＝（８，８），面で（１）→ｆ＝（１）が重なる．原正多面体は頂点と辺と面が消失する．

ｆ0＝８・２４−２４・８＋３２・１＝３２　　（ＮＧ）

ｆ1＝８・３６−２４・８＋３２・１＝１２８　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４−２４・１＋３２・０＝８８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８・１＋１６・１＝２４　　（ＯＫ）

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［１１］（１１１０）→ｆ＝（１９２，３８４，２４０，４８）

　頂点に（１１０），辺に（１０）柱ができている．

（１１０）→ｆ＝（２４，３６，１４）

（０１）→ｆ＝（４，４）

ｆ0＝８・２４＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・３６＋２４・４＝３８４　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４＋２４・４＋３２・１＝２４０　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋２４＋１６＝４８はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［１２］正軸体系（１１０１）→ｆ＝（１９２，４８０，３６８，８０）

　頂点に（１０１），辺に（０１）柱ができている（ＯＫ）．

（１０１）→ｆ＝（２４，４８，２６）

（１０）→ｆ＝（４，４）

（２）

ｆ0＝８・２４＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・４８＋２４・４＝４８０　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・２６＋２４・４＋３２・（２）＝３６８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋２４＋３２＋１６＝８０はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［１３］（１０１１）→ｆ＝（１９２，４８０，３６８，８０）

　頂点に（０１１），辺に（１１）柱ができている（ＯＫ）．

（０１１）→ｆ＝（２４，３６，１４）

（１１）→ｆ＝（８，８）

（２）

ｆ0＝８・２４＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・３６＋２４・８＝４８０　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・１４＋２４・８＋３２・（２）＝３６８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋２４＋３２＋１６＝８０はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［１４］（０１１１）→ｆ＝（１９２，３８４，２４８，５６）

　頂点に（１１１）ができているが，辺は消失していて，正八角形面を重複して数え上げていることになる．

（１１１）→ｆ＝（４８，７２，２６）

（１１）→ｆ＝（８，８）

（２）

ｆ0＝８・４８−２４・８＝１９２　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・７２−２４・８＝３８４　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・２６−２４・１＋３２・（２）＝２４８　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋３２＋１６＝５６はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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［１５］（１１１１）→ｆ＝（３８４，７６８，４６４，８０）

　頂点に（１１１），辺に（１１）柱ができていることになる．

（１１１）→ｆ＝（４８，７２，２６）

（１１）→ｆ＝（８，８）

（２）

ｆ0＝８・４８＝３８４　　（ＯＫ）

ｆ1＝８・７２＋２４・８＝７６８　　（ＯＫ）

ｆ2＝８・２６＋２４・８＋３２・（２）＝４６４　　（ＯＫ）

ｆ3＝８＋２４＋３２＋１６＝８０はワイソフ算術で計算　（ＯＫ）

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