今回のコラムでは，ルジャンドルの定理（３元２次形式）とこの定理から導かれる結果を取り上げてみますが，数論においてはどのような整数が２次形式で表現されるかというのは基本的な問題のひとつです．
２元２次形式のディオファントス方程式
ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＝ｎ （ａ，ｂ，ｈ，ｎは整数）
［ｘ，ｙ］［ａ，ｈ］［ｘ］＝ｎ
［ｈ，ｂ］［ｙ］
が整数解（ｘ，ｙ）をもつか否かを判定し，それを決定するためのアルゴリズムが存在します（２次形式の同値類を決定する方法も存在する）．
しかし，一般に３変数以上，３次以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，３元３次形式：ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．
ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されているのですが，わかっていることといえば
ａ）整数係数のａｘ＋ｂｙ＝ｃは無数の有理数解をもちます．
ｂ）二次曲線ａｘ^2＋ｂｙ^2＝ｃのグラフは円錐曲線ですが，この方程式が有理数解を１つもてば，実は無数のもつことを示すことができます．たとえば，方程式ｘ^2＋ｙ^2＝１には，無限に多くの有理数解，（３／５，４／５），（５／１３，５／１２），（１２／３７，３５／３７）など・・・が存在します．ところが，半径が√３の円，ｘ^2＋ｙ^2＝３になると有理点は全くなってしまいます．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．
ｃ）「三次曲線ａｘ^3＋ｂｙ^3＝ｃや楕円曲線ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄなど，３次以上の不定方程式には一般に整数解が有限個しかない．」
これを証明したのはジーゲルで，その定理はジーゲルの有限性定理（１９２９年）と呼ばれています．この定理により，すべての２変数多項式の可解性が決定したわけではありませんが，少なくとも２変数２次多項式の可解性条件はわかったことになります．
ｄ）また，モーデル・ファルティングスの定理（１９８３年）とは，「種数が２以上の代数曲線は有理点を有限個しかもたない．」というものです．２次曲線のように有理点全体を１つの変数でパラメータ表示できる曲線を種数が０の曲線と呼んでいます．一方，種数が１である曲線に楕円曲線があります．したがって，有理点が無数にあるような曲線は種数が０か１ということになり，直線（種数０）か，円錐曲線（種数０）か，楕円曲線（種数１）に限られてきます．また，リーマン・フルヴィッツの公式よりフェルマー曲線ｘ^n＋ｙ^n＝１は種数が（ｎ−１）（ｎ−２）／２で，これはｎ＝３のとき１ですが，ｎ≧４のときは２以上となりますから，そこでフェルマーの予想を征するために必要となるのが楕円曲線であったというわけです．
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【１】３平方和の定理（ルジャンドル，１７９８年）
「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」
ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．
［参］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．
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【２】ガウスの定理
「どの正整数も３つの３角数の和として表される．」
ガウスは１７９６年の日記に「わかった！ ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味です．ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．
（証明）４^m（８ｋ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと
ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２
一般に「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理でｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．ガウスはフェルマーの主張のひとつを証明したことになります．
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【３】ルジャンドルの４平方和定理
任意の整数ｎは，ｎ個平方和
ｎ＝１^2＋１^2＋・・・＋１^2
に書けますから，これをなるべく少ない数の平方和でｎを表そうと思うのは自然な成り行きです．
「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，７のみならず，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
ラグランジュの４平方和定理では０も含めて考えていますが，「正」という条件を付けてみることにすると，
「４つの正の平方数の和として表されない正の整数をすべてあげると
１，３，５，９，１１，１７，２９，４１，２×４^m，６×４^m，１４×４^m」
が得られます（ルジャンドルの４平方和定理）．
ルジャンドルの３平方和定理は，どのような数が４つの正の平方数の和として表されるか否かを決定するというわけです．
（証明）８ｋ＋３の形をした数は３つの奇数の平方の和として表せることは前述したとおりですが，
８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
となることからも，３つの平方数の和として表すことができることがわかります．
同様に
８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
ことから，８ｋ＋３と８ｋ＋６の形をした数は，２つの平方数の和としては表すことができない→３つの平方数の和として表されなければなりません．また，その数の４倍を考えれば３２ｋ＋１２と３２ｋ＋２４も３つの平方数の和として表されます．
８ｋ＋２の形の数から２^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
８ｋ＋３の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋４の形の数から１^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋６の形の数から４^2を引くと → ８ｋ＋６の形の数
８ｋ＋７の形の数から２^2を引くと → ８ｋ＋３の形の数
８ｋ＋１の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと → ３２ｋ＋２４の形の数
８ｋ＋５の形の数から１^2，３^2，５^5，７^2を引くと → ３２ｋ＋１２の形の数
したがって，４９よりも大きく８の倍数でない任意の整数は４つの正の平方数の和として表されることがわかります．４９までの８の倍数でない数について１，２，３，５，６，９，１１，１４，１７，２９，４１が４つの正の平方数の和として表されないことを確認します．
１＝１^2 １１＝３^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2 １４＝３^2＋２^2＋１^2
３＝１^2＋１^2＋１^2 １７＝３^2＋２^2＋２^2
５＝２^2＋１^2 ２９＝４^2＋３^2＋２^2
６＝２^2＋１^2＋１^2 ４１＝６^2＋２^2＋１^2
９＝２^2＋２^2＋１^2
あとは，８ｋの形をした数が４つの正の平方数の和として表される場合について考察します．４つの平方数のうち奇数が０個（または１個または２個または３個または４個）ならば，和は４ｋ（または４ｋ＋１または４ｋ＋２または４ｋ＋３または８ｋ＋４）の形をしています．たとえば，
（２ｐ＋１）^2＋（２ｑ＋１）^2＋（２ｒ＋１）^2＋（２ｓ＋１）^2
＝４ｐ（ｐ＋１）＋４ｑ（ｑ＋１）＋４ｒ（ｒ＋１）＋４ｓ（ｓ＋１）
＝８ｋ＋４
したがって，８ｋの形をした数が４つの平方数の和として表されるならば，その４つの正の平方数はすべて偶数でなければなりませんから，２ｋが４つの正の平方数の和として表されるときに限られます．
（２ｐ）^2＋（２ｑ）^2＋（２ｒ）^2＋（２ｓ）^2＝８ｋ
ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2＝２ｋ
ここで，２ｋが８の倍数であればさらに４で割って，２ｋは８の倍数でないとすることができますから，前述の場合に帰着されます．
すなわち，８の倍数でない２ｋ（偶数）が４つの正の平方数の和として表されないのは
２ｋ＝２，６，１４
したがって，２，６，１４といった整数の４倍
８ｋ＝２×４^m，６×４^m，１４×４^m
は４つの正の平方数の和として書けないことがわかります．
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【４】４平方和定理の拡張
何種類かの４変数２次形式，たとえば，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2 （ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）
はすべての正の整数を表現することができます．
（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりその数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，
ｍｗ^2 （ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）
を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．
なお，変数の数を任意とする正定値２次形式（たとえば，ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2）が
１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５
の１５までのなかでこれら９つの数を表現するならば，その２次形式はすべての正整数を表現することが知られています．この定理はルジャンドルの４平方和定理も内包しています．
しかしながら，ルジャンドルの定理のように３変数２次形式
［ｘ，ｙ，ｚ］［ａ，ｈ，ｇ］［ｘ］＝ｎ
［ｈ，ｂ，ｆ］［ｙ］
［ｇ，ｆ，ｃ］［ｚ］
では表現できないような数が必ず存在します．
たとえば，
Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2
は１から３０までの整数をすべて表しますが，３１を表すことはできません（３２は表すことができる）．
ここではオイラーの素数生成式（ｎ^2＋ｎ＋４１はｎが０から３９まですべて素数を与える）のようにうまい具合にいっている３変数２次形式を掲げましたが，正定値３変数２次形式はどれもある整数を表わすことができないのです．
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［参］コンウェイ「素数が香り，形が聞こえる」シュプリンガー・フェアラーク東京
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