太鼓の形を与えて太鼓の音を求める問題を順問題と呼びますが，これに対して，「太鼓の音を聞いて太鼓の形を推定する」問題は，逆問題の一例としてよく取り上げられるものです．

　実際，１次元（弦）ならば，その音を聞いて弦の形，すなわち，弦の長さを推定することができます．もっとも材質が違えば音色は異なるわけですが，この場合は音色ではなく，音の周波数（スペクトル）だけを問題とすることにします．それならば２次元の外周が固定された膜ではどうでしょうか？（ディリクレ問題）

　１９１０年代，ワイルは太鼓の音からその面積を推定することが可能であることを証明しました．また，１９３０年代には音から周の長さも決定できることが示されました．

　面積や周長だけから正確に定義できる図形は円だけなので，円形の太鼓ならば音からその大きさを決定できることが解ったわけですが，しかし，面積も周長も等しいが形の異なる太鼓が，同じ音をもっているなどということがあり得るだろうか？という一般的な疑問には答えることができませんでした．

　１９６０年代になると，カッツは「ドラムの形は聴き分けられるか？」

　　M. Kac, Can one hear the shape of a drum?, Amer. Math. Monthly, 73(1966),1-23

という論文を発表しました．カッツの問題とは，漸近挙動

　　Ｎd（λ）　〜　ｃdＶdλ^(d/2)

をもっと詳しく調べれば，太鼓の形についての幾何学的情報がすべて得られないだろうか？という問いかけです．

　カッツが提出した等スペクトル問題は，数学論文としてはめずらしく魅力的なタイトルがものをいって，大きな注目を集めこの問題を解こうという研究を大きく促すきっかけとなりました．等スペクトル問題は逆問題の特殊な例になっていて，この論文のタイトルが逆問題の有名な標語（スローガン）になったというわけです．

　カッツの論文により「太鼓の音から，その面積，周の長さ，穴の数が聴きとれる」ことが示されたのですが，これらの成果にもかかわらず，境界の形が円であるのか楕円であるのか，四角形か多角形かなのか，面の正確な形が推測できるかというさらに一般的な疑問には答えられませんでした．これが，マッキーンやシンガーなどの人々を触発し，その後の研究が展開する契機となりました．

　今回のコラムでは格子について，その格子に含まれるベクトルの長さとその値をとるベクトルの数が与えられたとき，その格子に関して何がわかるか？という問題をテータ関数を用いて調べてみることにします．

　後述するように，ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．

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【１】格子のテータ関数

　格子に含まれるベクトルで与えられたノルム（長さの２乗）のものがいくつあるかによって，テータ関数が決まります．たとえば，六角格子ではノルム０のベクトルは１個，ノルム１のベクトル６個，ノルム３のベクトル６個，ノルム４のベクトル６個，ノルム７のベクトル１２個，・・・と数えていけば，この格子のテータ関数Θ(z)は

　　Θ(z) ＝１＋６ｑ＋６ｑ^3＋６ｑ^4＋１２ｑ^7＋・・・

　　　　　＝Σａｑ^k　　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

と定義されます．

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【２】ミルナーの反例

　数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーはカッツの問題に対する反例を最初に見つけました．すなわち，幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見したのです．

　「Ｒ^16のなかには形の異なる２つの偶ユニモジュラ格子Ｅ8＋Ｅ8，Ｄ16+がある．この２つの格子から構成されるトーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8，Ｒ^16／Ｄ16+は同じテータ関数をもつ（＝等スペクトル）である．」

（証）１６次元ダイアモンド格子Ｄ16+のテータ関数は

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）

Ｅ8＋Ｅ8のテータ関数は

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

　ここで，ヤコビの関係式

　　Ｄ4+＝Ｉ4　→　θ3^4＝１／２（θ2^4＋θ3^4＋θ4^4）

　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

より，θ3を消去すれば両者は（定数倍を除いて）一致することが確認できる．

　ところが，偶ユニモジュラ格子は保型性

　　Θ((az+b)/(cz+d))＝(cz+d)^(n/2)Θ(z)

を満さなければならないため，１６次元の場合，テータ関数は，

　　Θ(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ａｑ^2n＝Ｅ8(z)

ただひとつに限られる（σ7(n)はｎの正の約数の７乗和，Ｅ8(z)はアイゼンシュタイン級数）．

　したがって，トーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8とＲ^16／Ｄ16+は等スペクトルである（＝１６次元多様体の形は必ずしも聞き取ることはできない）ことが証明されたことになる．

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【３】ヤコビのテータ関数からの補足

　ヤコビの楕円関数sn,cn,dnを三角関数に対応する２重周期関数とするならば，ヤコビのテータ関数は指数関数に対応する擬２重周期関数です．

　θ3（ｚ）の定義は，三角関数を用いると

　　θ3（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　　　 ＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

とも表されます．ヤコビが定義したテータ関数はθ3を含めて４つあります．

　　θ4（ｚ）＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　 ＝１＋２Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

　　θ2（ｚ）＝Σｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σｑ^((n+1/2)^2)ｃｏｓ（２ｎ＋１）πｚ

　　θ1（ｚ）＝1/iΣ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｓｉｎ（２ｎ＋１）πｚ

　ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．

　簡単のため，ｚ＝０（ｙ＝１）とおいたものをθk（τ）とかくと，

　　θ3（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)）^2

　　θ4（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)）^2

　　θ2（τ）＝２ｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2m）^2

　　θ1（τ）＝０

　　θ1'（τ）＝ｄθ1／ｄｚ｜(z=0)＝２πｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）^3

となります．

　また，これらより

　　πθ2（τ）θ3（τ）θ4（τ）＝θ1'（τ）

　　θ3^4（τ）＝θ2^4（τ）＋θ4^4（τ）

などの関係式を導き出すことができます．

　ここからはデデキントのイータ関数との関係で

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）

としますが，周期性

　　θ3（τ＋１）＝θ4（τ）

　　θ4（τ＋１）＝θ3（τ）

　　θ2（τ＋１）＝θ2（τ）ｅｘｐ（πｉ４）

双対性については，ポアソンの和公式を用いて求めます．

　　θ3（−１／τ）＝θ3（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ4（−１／τ）＝θ2（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ2（−１／τ）＝θ4（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　また，テータ関数はヤコビの３重積公式

　　Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）

にも結びついています．

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【４】ルート格子からの補足

　ルート格子Ｄnとは，ベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）において，

　　1)ｘiがすべて整数をとり

　　2)それらの総和が偶数値をとる

格子です．ｎ次元ダイアモンド格子Ｄn+はさらに

　　3)半整数値をとるもの

という条件を加えます．

　Ｄn+はｎが偶数のときに限り格子になり，とくにｎが８の倍数のとき偶ユニモジュラ格子（ベクトルの長さの２乗がすべて偶数であり，単位体積に含まれる点が１個に限られる格子）です．リー環との関係からＤ8+＝Ｅ8と呼びます．偶ユニモジュラ格子はｎが８の倍数のときにしか存在しません．

　８次元の偶ユニモジュラ格子はＥ8だけしかないのに対して，１６次元の偶ユニモジュラ格子は２つあるというわけです（ヴィット，１９４１年）．なお，２４次元偶ユニモジュラ格子は２４種類あり，その中には有名なリーチ格子Λ24も含まれます（ニーマイヤー）．

　１６次元格子Ｄ16と８次元格子Ｅ8（＝Ｄ8+）のテータ関数を決定してみましょう．前節よりヤコビのテータ定数を

　　θ3＝Σｑ^(n^2)

　　θ4＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)

　　θ2＝Σｑ^((n+1/2)^2)　　　q=exp(2πiz)

とします．θ3は立方体格子（整数値をとる格子），θ4は立方体格子に含まれるベクトルでノルムが奇数値をとるものの符号を変えてできる格子，θ2は半整数値をとる格子に対応していると考えることができます．

　このことから，Ｄnのテータ関数は

　　１／２（θ3^n＋θ4^n）

Ｄn+のテータ関数は

　　１／２（θ2^n＋θ3^n＋θ4^n）

であることがわかります．

　なお，格子Ｌの双対格子Ｌ+のテータ関数の間には，ヤコビの変換公式

　　θ+＝（ｄｅｔＬ）^(1/2)（ｉ／ｚ）^(n/2)θ(-1/z)

が成り立ちます．

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【５】クネーザーの反例

　カッツの提出した「音で太鼓の形が聞き分けられるか？」という有名な問題については，ミルナーによる否定的な研究がありました．また，別の数学者は異なる次元で等スペクトル多様体（等しい固有値をもち，リーマン多様体として異なる多様体）の例を発見しました．

　クネーザーは１２次元の反例：

　　Ｄ12＝１／２（θ3^12＋θ4^12）

　　Ｅ8＋Ｄ4＝１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）×１／２（θ3^4＋θ4^4）

を見つけ，その後，北岡は８次元の反例を見つけました．

　体積（行列式），表面積，周長は聞き取れるが，形は聞き取れないという話を格子について述べてきましたが，多様体（多面体）ではどうでしょうか．

　１９８４年，砂田利一（明治大学）は等スペクトル多様体をほとんど思うがままに作り出す画期的な方法を発見し，これによって低次元の実例を作り出すことが可能になりました．そして，カッツの反例となる等スペクトル多様体が構成できることを示したのです．

　　T.Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. Math., 121(1985), 248-277

　にもかかわらず，長い間，２次元の世界で等スペクトル多様体のペアを探しだすことはできませんでしたが，１９９１年には大きな進展がありました．ゴードンとその夫ウェッブは，ウォルポートからヒントを得て，面積と周長は等しいけれども形の違う，けれども同じ音をもつ２次元・３次元のペアを探し出すことに成功したのです．

　　C.Gordon,D.Webb and S.Wolport, Isospectral plane domains.and surfaces via Riemannian orbits, Invent. Math., 110(1192), 1-22

　また，現在知られている最も単純な２次元図形はチャップマンによる８つの角をもつ図形です．

　　S.J.Chapman, Drums that sound the same, Amer. Math. Monthly, 102(1995), 124-138

　浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」，裳華房には，これらの図形が図入りで詳しく書かれています．とはいえ，新たな問題も浮かび上がっています．たとえば，もっと単純な構造をもつもの，あるいは，滑らかな境界をもつドラムのペアは存在するであろうか？　等々．スペクトル幾何学の研究はやっと始まったばかりで，まだ多くの問題が残されているのです．

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【補】アイゼンシュタイン級数とＥ8格子

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　　Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　　　ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）

です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素

を満たすというわけです．

　保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開をもち，

　　Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

　　Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n

　　Ｅ10(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n

　　Ｅ12(z)＝１＋６５５２０／６９１Σσ11(n)ｑ^n

　　Ｅ14(z)＝１−２４Σσ13(n)ｑ^n

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和

　ベルヌーイ数を用いると

　　Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n

また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより

　　Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．

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【補】ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの整数」と呼びます．

　ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっています．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

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【補】Ｄ4格子

　Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が

　　２４σ0（ｎ）

で与えられるのですが，

　　ｎ＝１　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝２　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝３　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝４　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝５　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　　ｎ＝６　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝７　→　２４・（１＋７）＝１９２個

　　ｎ＝８　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝９　→　２４・（１＋３＋９）＝３１２個

　　ｎ＝10　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと

　　Σ１／ｎ^2＝π^2／６

を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では

　　２４０σ3（ｎ）

であり，勢力域の体積が１／１６であることから

　　Σ１／ｎ^4＝π^4／９０

を得ることができます．

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