ｎ角形の穴をあけるドリルについて，これまでのまとめをしておきたい．

(1)ｎが偶数のとき

　　円弧の中心はｎ−１角形の頂点

　　ｎ＝４　→　ルーローの三角形

(2)ｎが奇数のとき

　　円弧の中心はｎ−１角形の辺の中点

　　ｎ＝３　→　藤原・掛谷の二角形（例外）

(3)中心の軌跡は楕円の弧の組合せ

　　円もどき　（ｎ＝３を除く）

　ｎ＞３であれば中心の軌跡はほとんど円軌道を描いているといっていいくらいなので，1回公転する間に1/(n-1)回自転するという運動を実現させてやればよいことになる．そのためには２つの歯車が必要になる．

　ｎ＝３の場合，藤原・掛谷の２角形の中心は三角おむすび形の軌道をとるため，ハイポトロコイドで近似させることになると思われるが，はたして近似度は十分だろうか？

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【１】ハイポトロコイド

　１つの円（転円：半径ｂ）が他の固定した円（定円：半径ａ）に内接しながら滑ることなく転がるとき（ｂ＜ａ），転円に固定した点で転円の内部または外部にある点の描く軌跡をハイポトロコイドという．

　転円の中心から固定点までの距離をｃとおくと，この方程式は

　　ｘ＝（ａ−ｂ）ｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ｛（ａ−ｂ）θ／ｂ｝

　　ｙ＝（ａ−ｂ）ｓｉｎθ−ｃｓｉｎ｛（ａ−ｂ）θ／ｂ｝

と求められる．ｃ＝０（中心上）のとき円，ｃ＝ｂ（周上）のときハイポサイクロイドになる．アステロイドはｃ＝ｂ＝ａ／４のハイポサイクロイドである．

　ちなみに転円が定円に外接するとき，転円に固定した点で転円の内部または外部にある点の描く軌跡をエピトロコイドという．

　　ｘ＝（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ−ｃｃｏｓ｛（ａ＋ｂ）θ／ｂ｝

　　ｙ＝（ａ＋ｂ）ｓｉｎθ−ｃｓｉｎ｛（ａ＋ｂ）θ／ｂ｝

ｃ＝０（中心上）のとき円，ｃ＝ｂ（周上）のときエピサイクロイドになる．カージオイドはｃ＝ｂ＝ａのエピサイクロイドである．

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【２】中心の軌跡のハイポトロコイド近似

　藤原・掛谷の２角形の中心の軌跡を求めると，Ｂ＝Ａ√３／２として

　　ｘ＝（２Ａ／√３−Ｂ）ｓｉｎθ

　　ｙ＝Ａ−Ｂｃｏｓθ

で与えられます．

　ルーローの三角形では円もどき，デルトイドでは真円軌道を描くのですが，藤原・掛谷の２角形の中心の軌跡を描くと三角おむすび形の軌道になります．これをａ＝３ｂのハイポトロコイド

　　ｘ＝２ｂｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ２θ

　　ｙ＝２ｂｓｉｎθ−ｃｓｉｎ２θ

で近似すると

　　ｃ／ｂ＝0.178633

のとき，最もよく近似されることが計算されます．

　ルーローの三角形の場合（ｃ／ｂ＝０）とは違って，藤原・掛谷の２角形では回転の中心を転円の中心から少しずらしてやる必要があります（ｃ／ｂ＝0.178633）．藤原・掛谷の２角形が実際に三角の穴をあけるドリルに応用されているかどうかは知りません．

　ｎ＞３の場合も計算すると，ａ＝ｎｂのハイポトロコイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｂｃｏｓθ＋ｃｃｏｓ（ｎ−１）θ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｂｓｉｎθ−ｃｓｉｎ（ｎ−１）θ

に対して

ｎ ｃ／ｂ

3 0.178633

4 0.0796261

5 0.0165976

6 0.0628495

7 0.0247228

8 0.0503071

9 0.0281634

10 0.0416572

となって，ｎ＝５のとき最も真円に近いことがわかります．

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【３】出力例

　藤原・掛谷の２角形の中心の真の軌道（緑）と近似軌道（白）をオーバーラップさせて示します．両者はほぼ完璧に重なっていて近似度は十分と考えられます．

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