■まやかしの素数式(その3)
n<p≦2nの間には常に1個の素数があるという1845年のベルトラン仮説を1850年,チェビシェフが証明した.今回のコラムではこれを使って,
[2^b],[2^2^b],[2^2^2^b],・・・
がすべて素数となる定数b〜1.25が存在するという証明を紹介したい.
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【1】証明
p1=2とし,pnを2^Pn-1より大きい最も小さい素数する.このとき,ベルトラン仮説より
2^Pn-1<pn≦2^Pn-1+1
である.
b=loglog・・・(pn)=log^n(pn)
とすればよい.n→∞のとき,b→1.2516475977905・・・であって,
p1=2,p2=5,p3=37,p4=2^37+9
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