すべての面が正三角形で構成されている凸多面体をデルタ多面体といいます．デルタ多面体の面数は

　　ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０

で全部で８種類あります．このうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体に，デルタ６面体（重三角錐），デルタ１０面体（重五角錘），デルタ１２面体，デルタ１４面体（三角柱の正方形面に四角錐を３個載せる），デルタ１６面体（四角反柱の正方形面に四角錐を２個載せる）はジョンソン立体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あり，面の総数が指定されれば面の配置は唯一に決定されます．逆にいうと，もし凸多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】デルタ多面体

　オイラーの多面体定理は，８個の凸なデルタ多面体が存在することの証明の基礎にもなります．３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの頂点にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　デルタ多面体では，ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　奇妙に感じられるかもしれませんが，デルタ１８面体は存在しません．このことは，１９４２年，フロイデンタールによって証明されたのですが，この証明は殊の外厄介で，結局は頂点数１１の形を分類してあらゆる可能性を調べても凸体にならないことを確かめるという手間を要します．ともあれ，ｆ＝１８（ｖ＝１１）はどうしても凸にならないのです．

　また，デルタ多面体は正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱，四角反柱に分解されるのですが，デルタ１２面体だけは例外です．デルタ１２面体は双子の正１２面体とも呼ばれてきた多面体ですが，この多面体の存在は他よりも初等的でなく，それを構成するには３次方程式の解を必要とします．

［補］この方程式は，ｘ^2＝ｚとおくと

　　ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０

であるが，

　　（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０

となって３次方程式に帰着される．ゆえにデルタ１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．

　デルタ多面体による空間充填は正四面体と正八面体の組み合わせがよく知られていますが，そのほかにはないのでしょうか？　デルタ多面体のすべての二面角を計算して空間充填の必要条件を満たす解を探索すると（正四面体，デルタ６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかります．デルタ６面体は正四面体を２つ貼り合わせた立体ですから，デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないといえるのです．

　なお，デルタ多面体に対して，正方形のみによる凸多面体は立方体，正五角形のみによる凸多面体は正十二面体しかなく，正六角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝