■単純リー環を使った面数数え上げ(その28)

 (その24)では,Anのボロノイ細胞からは,全切頂切稜型準正多胞体,Cnのボロノイ細胞からは,切頂型準正多胞体を構成することができた.それ以外のすべてのケースでも,一般的な公式が存在するか,または,適切な解の有限集合からすべての解を導くプロセスが存在するはずであると思った.

 その後,Anのボロノイ細胞の要素数は一段,上の段がわかれば芋づる式に求められることがわかったが,Cnのボロノイ細胞の要素数の場合,k=2〜n−2,すなわち,f0,f1,fn-1は別途考える必要がある.とくにnが小さい場合には漸化式がまったく使えないことがわかった.

 「ワイソフ算術」を使えばf0,f1,fn-1の計量は容易に可能となるが,f2〜fn-2は難しい事情の裏には,このようなことが潜んでいるのであろう.

 秀逸なアイデアだと自己満足しても,日を改めてその問題に向き合ってみると,欠陥があることに気づく.ときには修正できることもあるが,まったく修正不能だったりもする.それが数学である.

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