ヒルベルトの第１８問題とは，たとえば，準正多面体による３次元空間の「充填形」など，互いに合同な多面体で空間を埋めることに関する一般的な問題である．

　一松信先生に窺った話であるが，正八面体の二面角は１０９．５°であるが，それを１０８°に歪めて正五角形もどきの楔形を作ると歪みが見えにくくなり，近似的充填形を作ることができるそうです．

　実物を見たわけではないので，想像するしかないのですが，二面角が１０８°の重四角錐を作ると，頂点の回りに５個集まることができるようになって近似的充填形になるということだと思われます．あなたはこの近似的充填を想像することができますか？

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【１】計量

　重四角錐の赤道面の正方形の１辺の長さを２とすると，赤道面から北極（南極）までの距離は

　　ｈ＝ｔａｎ５４°＝｛（５＋２√５）／５｝^1/2

　中心から三角形面に下した垂線の足の長さをｆとすると

　　ｆ＝ｔａｎ５４°ｃｏｓ５４°＝ｓｉｎ５４°

その座標を（ｘ，０，ｚ）とすると，

　　ｘ＝ｆｓｉｎ５４°，ｚ＝ｆｃｏｓ５４°

　また，もうひとつの三角形面の垂線の足の座標は（０，ｘ，ｚ）であるから，　　ｃｏｓθ＝ｚ^2／ｆ^2＝（ｃｏｓ５４°）^2＝（１０−２√５）／１６

二面角は

　　δ＝π−θ＝１１０．２１２°

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