【１】バナッハ・タルスキーのパラドックス

　多面体を切り貼りしても体積は変わらないのですが，曲面で囲まれた立体ということになると，もはやその常識は通用しなくなります．１９２４年，バナッハとタルスキーは，球を有限個の小片に分割し，再結合させると元と同じ大きさの２つの球を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．

　このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理でいう球体とは物質としての球ではなく，空間中の点の集まり（集合）のことで，分割とは物質の分割ではなく，集合の分割のことです．

　また，球を円に代えて，平面でもバナッハ・タルスキーの定理と同じことがいえるかというとそれはできません．２次元と３次元では事情が異なっているのですが，この奇妙さの源は「体積」という概念にあるのです．

　デーンの定理やバナッハ・タルスキーのパラドックスは，平面幾何学の面積の理論には連続の公理を必要とはしないが，体積の理論を作るにはカヴァリエリの原理のような他の超越的な補助手段を採用しなければならないことを意味しています．

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［補］１９１４年，ハウスドルフは球面を有限個の（非可測な）断片に分割し再配列したとき，もとの球面と同じ面積をもつ２つの球面ができるようにすることが可能なことを示しました．１９２４年，バナッハとタルスキーはハウスドルフが考案した逆説を改良し，球を可算個の小片に分割し再結合させると元と同じ大きさの２つの球を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．

　バナッハ・タルスキーの可算分解合同定理を言い換えれば，空間において面積と体積は非可測な断片に分解することによって保存されないというものです．このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理は「選択公理」を仮定しないと証明できないのです．

［補］タルスキーの問題「正方形（円板）を有限個の破片に分けて，集めて同じ面積の円板（正方形）にすることができるか」は，１９９０年になっておよそ１０^50個の破片を使って可能であることがラスコヴィッチによって証明された．

　その方法は非構成的で，選択公理を用いている．必要となる分割の個数はきわけておおきく，およそ１０^50であるが，ある意味，円積問題（円の面積に等しい正方形を作図する）は不可能ではなかったことになる．

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