［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが整数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等差数列をなす三角形は？

は１０世紀のペルシャ人数学者にちなんでアル・カラジーの問題と呼ばれる．たとえば，１＝１^2，２５＝５^2，４９＝７^2は公差２４をもつ．３１^2，４１^2，４９^2は公差７２０をもつ．

［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが有理数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等差数列をなす三角形は？

という問題は

［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが有理数でかつ面積ｘｙ／２が整数となる直角三角形は？

と同等な形に言い換えることができる．

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【１】合同数の話

　整数面積となりうる整数を（多少紛らわしいが）合同数という．１，２，３，４は合同数でないが，５，６，７は合同数である．

　エジプト三角形（３，４，５）の面積は６なので，６は合同数である．（２４／５）^2，（３５／１２）^2，（３３７／１３）^2は公差７をもつので，７は合同数である．（３１／１２）^2，（４１／１２）^2，（４９／１２）^2は公差５をもつので，５は合同数である．

　３１^2，４１^2，４９^2は公差７２０をもつので，１２^2で割る．あるいは，三角形（９，４０，４１）は面積１８０なので，この面積を３６＝６^2で割ると（３／２，２０／３，４１／６），面積５の三角形が得られる．

　ｙ^2＝ｘ^3−ｄ^2ｘ＝ｘ（ｘ−ｄ）（ｘ＋ｄ）

が整数解（ｘ，ｙ）をもつのはｄが合同数である場合に限られる．

　ｘ，ｘ−ｄ，ｘ＋ｄがろもに平方数であれば，ｘ^3−ｄ^2ｘも平方数であるから，ｙは有理解をもつ．逆に，ｘ，ｙがこの３次方程式を満たすならば，

　ａ＝（ｘ^2−ｄ^2）／ｙ，ｂ＝２ｄｘ／ｙ，ｃ＝（ｘ^2＋ｄ^2）／ｙ

は，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2とａｂ／２＝ｄを満たす．

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【２】合同数の判定アルゴリズム

　１９８３年に発見されたタンネル（タネル？）の判定法では，その整数を平方数の２種類の組み合わせとして，それぞれ何通りあるかを数えることによって合同数かどうかを判定する．

　この判定法の問題点は正しいことが証明されていないことである．その正否はＢＤＳ予想の正否に負っているのである．

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［１］奇数の無平方数ｄが合同数であるのは，

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋８ｚ^2＝ｄ

の整数解（正でも負でもよい）の個数が

　　２ｘ^2＋ｙ^2＋３２ｚ^2＝ｄ

の整数解の個数の２倍になる場合に限られる．

（ｄ＝１）第１の方程式の２つの解（０，±１，０）

　　　　　第２の方程式の２つの解（０，±１，０）→ＮＧ

（ｄ＝３）第１の方程式の４つの解（±１，±１，０）

　　　　　第２の方程式の４つの解（±１，±１，０）→ＮＧ

（ｄ＝５）第１の方程式は解をもたない

　　　　　第２の方程式も解をもたない→ＯＫ

（ｄ＝７）第１の方程式は解をもたない

　　　　　第２の方程式も解をもたない→ＯＫ

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［２］偶数の無平方数ｄが合同数であるのは，

　　８ｘ^2＋２ｙ^2＋１６ｚ^2＝ｄ

の整数解（正でも負でもよい）の個数が

　　８ｘ^2＋２ｙ^2＋６４ｚ^2＝ｄ

の整数解の個数の２倍になる場合に限られる．

（ｄ＝２）第１の方程式の２つの解（０，±１，０）

　　　　　第２の方程式の２つの解（０，±１，０）→ＮＧ

（ｄ＝４）ｄ＝２^2より，ＮＧ（合同数ではない）

（ｄ＝６）第１の方程式は解をもたない

　　　　　第２の方程式も解をもたない→ＯＫ

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