正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができる．正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれ，ピタゴラス派のシンボルマークであったことはよく知られている．

　星形五角形の内部にはもとの正五角形を天地逆転させた小さな正五角形ができる．その中にまた星形五角形を作ると再び順方向の正五角形ができる．このように正五角形は無限に続く入れ子構造を有している．この入れ子構造の背後には黄金比が潜んでいる．黄金比は興味深い数であって，フィボナッチ数列とも密接な関係があることはご存知であろう．

　何年か前に東京都荒川区南千住の乙部融朗住職（円通寺）を訪問した際，４次元正５胞体を３次元空間内に直投影した立体模型をみせていただいたことがある．この模型の写真は

　　石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」，京都大学学術出版会

の８３ページに掲載されているので，ご存知の方もおられると思う．

　４次元正５胞体を２次元平面上に直投影すると，その外形は正三角形，正方形，正五角形など様々に変化する．とくに正五角形に中にすべての対角線を入れた図はペンタグラムそのものとなるから，４次元正５胞体を３次元空間内に直投影した立体図形は立体ペンタグラムということになろう．それにしても乙部住職はどうやって立体ペンタグラムを製作したのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正単体の構成と計量

　ｎ次元正単体を手軽に構成するために，その頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

とする．これらの頂点間距離は√２，また，相隣る各辺のなす角度は６０°，隣接しない辺のなす角度は９０°である．

　これらの座標が与えられたとき，残りの１点の座標は

　　（ｚ，ｚ，・・・，ｚ）

とすることができる．他の頂点との距離は√２であるから，

　　（ｚ−１）^2＋（ｎ−１）ｚ^2＝２

すなわち，

　　ｎｚ^2−２ｚ−１＝０

を満たさなければならないことより，

　　ｚ＝｛１±√（１＋ｎ）｝／ｎ

が得られる．

　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めることにしよう．これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

であるから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになる．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】４次元正５胞体の直投影

　４次元正５胞体の場合は，ｎ＝４として

　　（１，０，０，０）

　　（０，１，０，０）

　　（０，０，１，０）

　　（０，０，０，１）

　　（ｚ，ｚ，ｚ，ｚ）　　　ｚ＝｛１±√５）｝／４

を考えることになります．

　たとえば，これを（ｘ，ｙ，ｚ）空間に直投影すると，５点の座標は

　　Ｐ1（１，０，０）

　　Ｐ2（０，１，０）

　　Ｐ3（０，０，１）

　　Ｐ4（０，０，０）

　　Ｐ5（ｚ，ｚ，ｚ）　　　ｚ＝｛１±√５）｝／４

となり，Ｐ4は原点に移ります．

　投影後の長さは

　　Ｐ1Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3＝Ｐ3Ｐ1＝√２

　　Ｐ1Ｐ4＝Ｐ2Ｐ4＝Ｐ3Ｐ4＝１

　　Ｐ1Ｐ5＝Ｐ2Ｐ5＝Ｐ3Ｐ5＝｛（ｚ−１）^2＋２ｚ^2｝^(1/2)＝（２−ｚ^2）^(1/2)

　　Ｐ4Ｐ5＝（３ｚ^2）^(1/2)

ですから，

(1)ｚ＝｛１−√５）｝／４のとき，三角錐の原点から各頂点を結んだ形

(2)ｚ＝｛１＋√５）｝／４のとき，正三角形を底面とする三角錐を重ねた形になることがわかります．

　また，∠Ｐ1Ｐ2Ｐ3＝６０°ですが，

　　Ｐ2Ｐ3・Ｐ4Ｐ3ｃｏｓ（∠Ｐ2Ｐ3Ｐ4）＝√２・１・ｃｏｓ（∠Ｐ2Ｐ3Ｐ4），（Ｐ2−Ｐ3，Ｐ4−Ｐ3）＝１

より∠Ｐ2Ｐ3Ｐ4＝４５°となります．当たり前のことですが，直投影では長さも角度も変わってきます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここでは最も簡単な直投影を考えましたが，一般には超平面に投影することになります．その場合，ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　（ａ，ｘ’）＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面（全空間より１次元低い空間）というのです．

　超平面（ａ，ｘ）＝０に対する鏡映変換は，ｂの像をｂ’とするとｂ−ｂ’がａに平行ですから，関係式

　　ｂ−ｂ’＝２（ｂ，ａ）ａ／（ａ，ａ）

が成立します．また，超平面（ａ，ｘ）＝０への直投影では，ｂの像をｄとすると

　　ｂ＋ｂ’＝２ｄ

ですから，

　　ｄ＝ｂ−（ｂ，ａ）ａ／（ａ，ａ）

と求められます．

　したがって，超平面（ａ，ｘ）＝０上においてａと直交するベクトルを得て，ｄとの内積をとればｂの超平面への直投影が得られることになります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　私の考えた方法は単純素朴なもので，３次元空間に投影された５点を

　　Ｐ0（ｘ0，ｙ0，ｚ0）

　　Ｐ1（ｘ1，ｙ1，ｚ1）

　　Ｐ2（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

　　Ｐ3（ｘ3，ｙ3，ｚ3）

　　Ｐ4（ｘ4，ｙ4，ｚ4）

　２次元平面上に直投影するとその外形が正五角形になることより

　　ｘk＋ｙkｉ＝ｅｘｐ（２πｉｋ／５） (k=0~4)

　　　　　　　＝ｃｏｓ（２πｋ／５）＋ｉｓｉｎ（２πｋ／５）

として（ｘk，ｙk）を決定します．

　あとはｚiを残すのみですが，さらに

　　ｚ0＝ｚ2＝ｚ3＝０，ｚ1＝ｚ4＝ｚ

とすれば未知数はたった１個になります．ここで３点（Ｐ0，Ｐ1，Ｐ4）が正三角形をなすとすると

　　(ｃｏｓ(2π/5)-1)^2＋(ｓｉｎ(2π/5))^2＋ｚ^2=(2ｓｉｎ(2π/5))^2

　　ｚ^2＝３(ｓｉｎ(2π/5))^2−(ｃｏｓ(2π/5)-1)^2　→　ｚ＝１．４９５３５

　　Ｐ0(1,0,0)

　　Ｐ1(0.309018,0.951059,1.49535)

　　Ｐ2(-0.808016,0.587787,0)

　　Ｐ3(-0.809019,0.587783,0)

　　Ｐ4(0.309013,-0.951058,1.49535)

となるのですが，この先がつかえてしまいました．

　立体ペンタグラムの写真とはちょっと違うようにみえたこと，２次元平面上に直投影してその外形が正方形になるがどうかわからないというのがその理由です．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】体積０の正５胞体

　このままでもよいのですが，

　　［参］一松信「高次元の正多面体」日本評論社

にしたがってもう少し一般的に考えてみましょう．

　４次元空間の単体（５胞体）の体積を座標を使って表せば，係数１／２４を除いて５個の点の座標に（１，１，１，１，１）を加えて作られる５次の行列式の絶対値になります．すなわち，行列式

　　２４｜Ｖ｜＝｜１　　１　　１　　１　　１　｜

　　　　　　　　｜ｘ11　ｘ21　ｘ31　ｘ41　ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12　ｘ22　ｘ32　ｘ42　ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13　ｘ23　ｘ33　ｘ43　ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14　ｘ24　ｘ34　ｘ44　ｘ54｜

で表されます．

　ここで，右辺の第ｉ列から第ｉ＋１列を引く操作をｘｉ＝１，２，３，４の順に繰り返すと，第１行は（０，０，０，０，１）となりますから

　　２４｜Ｖ｜＝｜ｘ11−ｘ21　ｘ21−ｘ31　ｘ31−ｘ41　ｘ41−ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12−ｘ22　ｘ22−ｘ32　ｘ32−ｘ42　ｘ42−ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13−ｘ23　ｘ23−ｘ33　ｘ33−ｘ43　ｘ43−ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14−ｘ24　ｘ24−ｘ34　ｘ34−ｘ44　ｘ44−ｘ54｜

　この転置行列を右からかけると

　　２４^2Ｖ^2＝｜Σ（ｘik−ｘi+1k）（ｘjk−ｘj+1k）｜＝｜ａi・ａj｜

すなわち，グラミアンで与えられます．

　正５細胞体ではａiはすべて長さが等しく，各辺の長さを１とすると

　　ａi・ａi＝１

各頂点で相隣るベクトルの間の角度はすべて等しく，各内角をθとすると

　　ａi・ａi+1＝ｃｏｓ（π−θ）＝−ｃｏｓθ＝ｘ

　また，ａiの終点がａi+1の始点ですから

　　ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5＝０

より

　　（ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋ａ5）・ａk＝１＋２ｘ＋ａi・ａk＋ａj・ａk＝０

相隣るベクトルの和すなわち対角線ａi＋ａi+1の長さもすべて等しくなりますから，

　　ａi・ａk＝ａj・ａk＝ｙ

とおきます．

　したがって，１＋２ｘ＋２ｙ＝０すなわちｘ＋ｙ＝−１／２なるｘ，ｙについて

　　２４^2Ｖ^2＝｜１　ｘ　ｙ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｘ　１　ｘ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｘ　１　ｘ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｙ　ｘ　１｜

となります．

　この行列式はｘ，ｙについて対称式であり，

　　ｘ^4−２ｘ^3ｙ−ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＋４ｘ^2ｙ＋４ｘｙ^2−３ｘ^2−３ｙ^2＋１

と展開されます．これが

　　（ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

　さらに，黄金比：τ＝（√５＋１）／２，τ^(-1)＝（√５−１）／２を用いると

　　（τｘ−τ^(-1)ｙ−１）（τ^(-1)ｘ−τ^(-1)ｙ＋１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

と因数分解できます．

　この正５胞体が３次元に退化する条件は

　　Ｖ＝０，ｘ＋ｙ＝−１／２

を解くことにより，

　　ｘ＝（√５−１）／４，−（√５＋１）／４

すなわち，

　　θ＝１０８°（正五角形）または３６°（星形五角形）

となり，３次元を通り越して一挙に２次元まで退化してしまいます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　それ以外は常に４次元空間の図形になるのですが，もしもこのような等辺等角五角形を４次元空間で連続して変形させることができたとすると

　　ｘ＝−１／２，ｙ＝０

は相隣る各辺のなす角度は６０°，隣接しない辺のなす角度は９０°の正５胞体となります．

　ｘ＝−１／４，ｙ＝−１／４

のときには１０本のベクトルのうち５本のベクトルの始点が１点に集まるようにすると，正５胞体の中心から各頂点を結んだ形になります．

　このように，正５胞体は平面の正五角形と星形五角形の中間の４次元図形と解釈できるというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】Ａn型ルートとの関連

　前節の解説はもしも・・・という仮定をおいたためまどろっこしかったかもしれない．ここではルート系からの補足説明をしよう．

　ルート系とは

(1)２つのベクトルの間の角度θは３０°，４５°，６０°，９０°（またはその補角）に限られる（これはｍ＝（２ｃｏｓθ）^2°が整数である値である）

(2)θ＝９０°の場合を除き，両ベクトルの長さの比は１：√ｍ

という性質をもつ原点からでるベクトルの有限集合のことである．よく知られているように正単体はＡn型ルートである．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　グラフの隣接行列では，結ぶ辺の有無を（０，１）で表したものが一般的である．すなわち，

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

であるが，極大格子の隣接行列Ｂ＝｛ｂij｝では，要素が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義される．その際，ｎ次元平行多面体（平行２ｎ面体）の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味している．角度が６０°のことを隣り合うといっているわけで，そのため，隣接行列は（０，１，２）で表されることになる（隣接行列の定義は文献によって異なる場合があるので注意を要する）．

　　｜Ａ2 ｜＝｜２　１｜＝３

　　　　　　　｜１　２｜

　　　　　　　｜２　１　０｜

　　｜Ａ3 ｜＝｜１　２　１｜＝４

　　　　　　　｜０　１　２｜

は容易に計算できる．

　　・−・・・・・−・

をＡn のディンキン図形とすると，Ａn+1は左から・−を作用させた

　　・−・−・・・・・−・

すなわち，

　　・−（Ａn ）

であるから，その隣接行列式は

　　　　　　　　｜２　１　・・　０｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜Ａn+1 ｜＝｜１　２　・・　０｜＝｜１　　　　　　　｜

　　　　　　　　｜０　１　・・　１｜　｜０　　　Ａn 　　｜

　　　　　　　　｜０　０　・・ ２｜　｜０　　　　　　　｜

で表される．

　右辺を第１行について展開すると

　　 ｜１　１　０　・・　｜

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜０　　　Ａn-1 　　｜

　　 ｜０　　　　　　　　｜

次に，第１列について展開して

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　このことから，

　　｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜＝｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ａ3 ｜ −｜Ａ2 ｜＝１

であり，したがって，数列｛｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜｝は公差１の等差数列であることがわかり，

　　｜Ａn ｜＝１＋ｎ

が得られる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　次に，

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜１　２　・・　０｜

　　｜１　１　・・・１｜＝｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜　｜０　０　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜０　０　・・ ２｜

を示してみよう．

　なぜ，このようなことをするのかというと，例えば，３次元の平行六面体の体積は

　　Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑　　ａ↑・ｂ↑　　ａ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｂ↑・ａ↑　　ｂ↑・ｂ↑　　ｂ↑・ｃ↑｜

　　　　　｜ｃ↑・ａ↑　　ｃ↑・ｂ↑　　ｃ↑・ｃ↑｜

で与えられ，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたとき，グラミアンは

　　　　｜ｄ^2　　ｄ^2／２　　ｄ^2／２｜　　　　　　　　｜２　１　１｜

　　Ｇ＝｜ｄ^2／２　　ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝（ｄ^2／２）^3｜１　２　１｜

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2／２　　ｄ^2｜　　　　　　　　｜１　１　２｜

として得ることができるというのがその理由である．

　３次の行列式であれば，行列式を展開して

　　｜２　１　１｜　　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜＝４，｜１　２　１｜＝４

　　｜１　１　２｜　　　｜０　１　２｜

であることを確認することができる．しかし，直接

　　｜２　１　１｜

　　｜１　２　１｜

　　｜１　１　２｜

を

　　｜２　１　０｜

　　｜１　２　１｜

　　｜０　１　２｜

に変形することは難しいだろう．

　　｜２　１　・・　０｜

　　｜１　２　・・　０｜

　　｜０　１　・・　０｜＝１＋ｎ

　　｜０　０　・・　１｜

　　｜０　０　・・ ２｜

は既に証明済みであるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・・１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

を示すことによって，両辺が一致することを確認してみよう．それでも立派な証明だろう．

　まず，第１行を他の行から引いて

　　｜２　１　・・　１｜　｜２　　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜　｜−１　１　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜＝｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・　１｜　｜−１　０　・・　０｜

　　｜１　１　・・ ２｜　｜−１　０　・・ １｜

さらに第２列〜第ｎ列を第１列に加えれば

　　｜２　　１　・・　１｜　｜１＋ｎ　１　・・　１｜

　　｜−１　１　・・　１｜＝｜　０　　１　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　０｜＝｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・　１｜　｜　０　　０　・・　０｜

　　｜−１　０　・・ ２｜　｜　０　　０　・・ １｜

のように上三角行列式となる．

　三角行列の行列式の値は対角要素の積になるから，

　　｜２　１　・・　１｜

　　｜１　２　・・　１｜

　　｜１　１　・・　１｜＝１＋ｎ

　　｜１　１　・・　１｜

　　｜１　１　・・ ２｜

となることが証明されたことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝