以上が，RV Moody, J Patera: Voronoi and Delaunay cells of root lattices: classification of their faces and facets by Coxter-Dynkin diagrams, J Phys A Math Gen 25(1992), 5089-5134

の概要であるが，（その１４）では頂点数２（２^n−１）と２^n＋２ｎの多胞体が現れている．

　これらは空間充填２^n＋２ｎ胞体，空間充填２（２^n−１）胞体の双対なのだろうか？

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【１】Ａnのボロノイ細胞の要素数

　　ｆ0＝２（２^n−１）

　　ｆ1＝２（２^n-1−１）（ｎ＋１，１）＝２（ｎ＋１）（２^n-1−１）

　　ｆk＝２（２^n-k−１）（ｎ＋１，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　ｆ1を計算すると

　　２４（ｎ＝３），７０（ｎ＝４），１８０（ｎ＝５），４３４（ｎ＝６）

　空間充填２（２^n−１）胞体のｎ−２面数は

　　３６（ｎ＝３），１５０（ｎ＝４），５４０（ｎ＝５），１８０６（ｎ＝６）

で，一致しない．

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【２】Ｃnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧３）

　　ｆ0＝２^n＋２ｎ

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）＋２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）　　１≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　ｆ1を計算すると

　　２４（ｎ＝３），９６（ｎ＝４），２４０（ｎ＝５），５７６（ｎ＝６）

　空間充填２^n＋２ｎ胞体のｎ−２面数は

　　３６（ｎ＝３），９６（ｎ＝４），２８０（ｎ＝５），６３６（ｎ＝６）

で，一致しない．

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【３】Ｄnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧４）

　　ｆ0＝２ｎ＋２^n

　　ｆ1＝３・２^n-1ｎ

　　ｆk＝２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）＋２^n-k（ｎ，ｋ）　　２≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　ｆ1を計算すると

　　９６（ｎ＝４），２４０（ｎ＝５），５７６（ｎ＝６）

　空間充填２^n＋２ｎ胞体のｎ−２面数は

　　９６（ｎ＝４），２８０（ｎ＝５），６３６（ｎ＝６）

で，一致しない．

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【３】雑感

　この論文では，頂点数２^n＋２ｎ，２（２^n−１）の多胞体が自然にでてくるが，その方法論（鏡映群の群論）で，空間充填準正多胞体をカバーできるかどうかはまったくわからない．

　ｎ次元空間内の鏡映群のほかに，ｎ−１次元球面上の鏡映群が新たに必要になるかもしれない．

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