ユークリッド空間の有限群（正多面体）または無限離散群（空間充填形）になるのは，４つの無限系列と５つの例外的な場合に限る．

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【１】Ａnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧１）

　　ｆ0＝２（２^n−１）

　　ｆ1＝２（２^n-1−１）（ｎ＋１，１）

　　ｆk＝２（２^n-k−１）（ｎ＋１，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　一般に，ｋ＝０〜ｎとして，

　　Ｓ＝Σ（ａ＋ｋｄ）ｑ^k＝ａ＋（ａ＋ｄ）ｑ＋（ａ＋２ｄ）ｑ^2＋・・・＋（ａ＋ｎｄ）ｑ^n

＝ａΣｑ^k＋ｄΣｋｑ^k

ａΣｑ^k＝ａ（１−ｑ^n+1）／（１−ｑ）

　　Σｋｑ^k＝１・ｑ＋２・ｑ^2＋３・ｑ^3＋・・・＋ｎ・ｑ n

　ｑΣｋｑ^k＝　　　　１・ｑ^2＋２・ｑ^3＋３・ｑ^4＋・・・＋ｎ・ｑ^n+1

辺々を引くと

（１−ｑ）Σｋｑ^k＝ｑ＋ｑ^2＋ｑ^3＋・・・＋ｑ^n−ｎ・ｑ^n+1

＝Σｑ^k−ｎ・ｑ^n+1

＝（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）−ｎ・ｑ^n+1

Σｋｑ^k＝（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2−ｎ・ｑ^n+1／（１−ｑ）

ｄΣｋｑ^k＝ｄ（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2−ｄｎ・ｑ^n+1／（１−ｑ）

ａΣｑ^k＋ｄΣｋｑ^k＝ｄ（ｑ−ｑ^n+1）／（１−ｑ）^2＋｛ａ（１−ｑ^n+1）−ｄｎ・ｑ^n+1｝／（１−ｑ）

Ｓ＝ｄｑ（１−ｑ^n）／（１−ｑ）^2＋｛ａ−（ａ＋ｄｎ）ｑ^n+1）／（１−ｑ）

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【２】Ｂnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧２）

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はｎ次元立方体の面数公式であり，オイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　　ｆ0＝２^n

　　ｆ1＝２^n-1ｎ

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【３】Ｃnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧３）

　　ｆ0＝２^n＋２ｎ

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）＋２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）　　１≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　　ｆ1＝２^n-1ｎ＋２^nｎ＝３・２^n-1ｎ

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【４】Ｄnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧４）

　　ｆ0＝２ｎ＋２^n

　　ｆ1＝３・２^n-1ｎ

　　ｆk＝２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）＋２^n-k（ｎ，ｋ）　　２≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

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