ルート系Ｒとは，単純リー環を特徴づける高度に対称性をもったベクトルの有限集合です．

［１］Ｒは原点から出るｎ次元ベクトルの有限集合で，点対称，すなわち，ｘａ＜Ｒなら，−ａ＜Ｒであるが，±ａ以外にａの定数倍のベクトルがＲに含まれることはない．

［２］Ｒの２つのベクトル間の角θは３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限る．これはｍ＝（２ｃｏｓθ）^2が整数である値である．

［３］角θが９０°以外のとき，２つのベクトルの長さの比は１：２ｃｏｓθである．

［４］ベクトルａ，ｂのなす角鋭角であり，ｂの方が短くなければ，ベクトル

　　ｂ−ｋａ，Ｋ＝０，１，・・・，ｍ＝（２ｃｏｓθ）^2

もＲに含まれる．

［５］Ｒ全体が互いに直交する２つ以上のベクトル系に分解することはない．

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　ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．

　ルート系では，ベクトルの間の角度は３０°，４５°，６０°，９０°またはその補角に限られるので，２次元の可能なルート系は

　　Ａ2（正六角形：正三角形格子）

　　Ｂ2＝Ｃ2（正方形）

　　Ｇ2（星形六角形：正６角形を２個合わせたもの）

しかありません．

　また，このようにルート系のベクトルの末端を結んでできるｎ次元図形が正多胞体になるのは比較的少数です．他には

　　Ｄ4（正２４胞体の３対性）

　　Ｃn（双対立方体）

　　Ｆ4（正２４胞体を２個合わせたもの）

があげられます．

　正２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体です．この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．たとえば，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているというわけです．

　また，正２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．

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