R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型のディンキン図形は，

　　　　　　３　　　　　　　　　１−２−３　　（Ａ3 ）

　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２　　　（Ｄ4 ）　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　＼ 　　　　　　　　　　　　 ｜　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　４　　　　　　　　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

そして，ディンキン図形に基づいて，隣接行列の要素ｂijを，

　　それ自身のとき・・・・２

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

と定めます．

　これは，隣接行列｛ｂij｝が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義され，その際，ｎ次元平行多面体の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味しています．

　そうすれば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型に対応する隣接行列式｜Ｂ｜は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

で定義され，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められます（極大格子については，現在のところ，ｎ≦８のみ答えが知られています）．

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【１】ルート系の例

　ルートは，半単純リー群の分類とか，特異点，正多面体の決定の際にも現れ，数学のさまざまな領域で重要な働きをします．

　ここで，R^nの標準基底をｅ1，・・・，ｅnとしましょう．

　　ｅi＝（０，・・・，１，０，・・・，０）

たとえば，R^3の標準基底をｅ1，ｅ2，ｅ3，R^4の標準基底をｅ1，・・・，ｅ4，R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ａ3型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，ｅ2−ｅ3，ｅ3−ｅ4｝

Ｄ4型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，ｅ2−ｅ3，ｅ3−ｅ4，ｅ3＋ｅ4｝

Ｅ8型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝

のようにとれます．

　ここで，それぞれ，

　　αi＝ｅi−ｅi+1

　　αi＝ｅi−ｅi+1，αn＝ｅn-1−ｅn

　　αi＝ｅi−ｅi+1，α0＝−ｅ1−ｅ2−ｅ3

とおきます．そうすると，Ｅ8型ルート系の場合，

　　α1−α2−α3−α4−α5−α6−α7

　　　　　　　｜　　　　　　　　　　

　　　 　　　α0　　　　　　　　　　

となり，前述のディンキン図形が求まります．このように，ディンキン図形は特異点とルート系の架け橋となっているグラフなのです．

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．多岐にわたる話題の中に少なからぬ重要性をもって現れるわけですから，魅力的な世界を形作っていると申せましょう．

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