先月，京都大学数理解析研究所で行われた「タイル張り力学系とその周辺」の研究会で，

　　space filling semi-regular polytopes and their Wythoff arithmetic

を講演．

　そこでは幾何学的な方法や多面体的組み合わせ論の方法を用いて，空間充填準正多胞体の諸量の計算結果について発表したところ，参席のムーディー先生からいろいろなサジェスチョンを賜った．コクセターが整理した群論的な方法を使って，計量を行うことができるのではというものであった．

　確かに，算術的方法は直観的でストレートであるが，いささか複雑であるのに対し，代数的方法はスマートであるように見えるかもしれない．しかし，「ワイソフ算術」を使えばｆ0，ｆ1，ｆn-1の計量は容易に可能となることを申し添えておきたい．（算術的方法の勝ち？）

　その後，ムーディー先生から古典的な単純リー環を使った面数数え上げの論文が送られてきた．

　RV Moody, J Patera: Voronoi and Delaunay cells of root lattices: classification of their faces and facets by Coxter-Dynkin diagrams, J Phys A Math Gen 25(1992), 5089-5134

　その論文では，たとえば，以下のような内容を扱っている．（代数的方法の勝ち？）

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【１】半立方体（hemicube）

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）のひとつおきの頂点において，そこと相隣る頂点全体を通る超平面で切り落として残る図形は半立方体（hemicube）と呼ばれる．たまたま，３次元では正四面体，４次元では正１６胞体となるが，５次元以上ではそれほど簡単な図形ではない．

　５次元の場合は，１６個の正５胞体と１０個の正１６胞体で囲まれた立体（中心対称ではない）である．６次元になると，この図形１２個と５次元の正単体３２個で囲まれた図形である．

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【２】半立方体の要素数

　半立方体（ｎ次元の超立方体において，ひとつおきの頂点（全体で２^n-1個）を結んでできる図形）の要素数を計算してみたところ，やはり，７次元までは個別にうまく計算できたものの８次元でゆきづまりました．ｎ≧４では側面（１次元低い胞）が２種類現れて，次元を下げていってもｆ4以上で２種類の図形が複雑に絡み合うのが原因です．

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）　　　（正四面体）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（８，２４，３２，１６）　　　（正１６胞体）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１６，８０，１６０，１２０，１６＋１０）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（３２，２４０，６４０，６４０，１９２＋６０，３２＋１２）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（６４，６７２，２２４０，２８００，１３４４＋２８０，４４８＋８４，６４＋１４）

　ｆ2は正三角形，ｆ3は正四面体，ｆ4以上で２種類の形の各々の和

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